套利定價理論

套利定價理論導出了與資本資產定價模型相似的一種市場關係。套利定價理論以收益率形成過程的多因子模型為基礎，認為證券收益率與一組因子線性相關，這組因子代表證券收益率的一些基本因素。事實上，當收益率通過單一因子(市場組合)形成時，將會發現套利定價理論形成了一種與資本資產定價模型相同的關係。因此，套利定價理論可以被認為是一種廣義的資本資產定價模型，為投資者提供了一種替代性的方法，來理解市場中的風險與收益率間的均衡關係。套利定價理論與現代資產組合理論、資本資產定價模型、期權定價模型等一起構成了現代金融學的理論基礎。

套利定價理論的出發點是假設證券的回報率與未知數量的未知因素相聯繫。

因素模型是一種統計模型。套利定價理論是利用因素模型來描述資產價格的決定因素和均衡價格的形成機理的。這在套利定價理論的假設條件和套利定價理論中都清楚的體現出來。

線性多因素模型的一般表達為：

(1)r =a +B *F + ε

其中：

r代表N種資產收益率組成的列向量

F代表K種因素組成的列向量

a是常數組成列向量

B是因素j對風險資產收益率的影響程度，稱為靈敏度(sensitivity)/因素負荷(factor loading). 組成靈敏度矩陣

ε是隨機誤差列組成的列向量。並要求：

(2)定義：對於一個有N個資產，K種因素的市場，如果存在一個證券組合，使得該證券組合對某個因素有著單位靈敏度，而對其他因素有著零靈敏度。那麼該證券組合被稱為純因素證券組合。

r是無風險收益率，λ每單位靈敏度的某因素的預期收益溢價。

純因素證券組合不只一種，那麼這些不同的證券組合，是否會產生同樣的期望收益呢？答案是肯定的，這就涉及到無套利均衡。

二、無套利均衡（no arbitrage equilibrium）

套利和無套利是現代金融的最基本的概念之一。

定義：套利機會(Arbitrage Opportunity)

存在一個交易策略，滿足以下4個條件：

1)不需要任何投入，自我融資(self-financing)

lw = 0　(7)

2)對所有因素風險完全免疫

Bw = 0　(8)

3)對所有非因素風險完全免疫

4)當資產數目足夠多時，期末可以獲得無風險收益

無套利原理：在市場均衡時刻，不存在任何套利機會。

無套利原理已經成為了現代金融學的基本假設，今後的微觀金融學筆記將會反覆討論這個概念。

1976年，美國學者斯蒂芬·羅斯在《經濟理論雜誌》上發表了經典論文“資本資產定價的套利理論”，提出了一種新的資產定價模型，此即套利定價理論(APT理論)。套利定價理論用套利概念定義均衡，不需要市場組合的存在性，而且所需的假設比資本資產定價模型(CAPM模型)更少、更合理。

與資本資產定價模型一樣，套利定價理論假設：

1.投資者有相同的投資理念；

2.投資者是迴避風險的，並且要效用最大化；

3.市場是完全的。

與資本資產定價模型不同的是，套利定價理論沒有以下假設：

1.單一投資期；

2.不存在稅收；

3.投資者能以無風險利率自由借貸；

4.投資者以收益率的均值和方差為基礎選擇投資組合。

套利定價理論的基本機制是：在給定資產收益率計算公式的條件下，根據套利原理推導出資產的價格和均衡關係式。APT作為描述資本資產價格形成機制的一種新方法，其基礎是價格規律：在均衡市場上，兩種性質相同的商品不能以不同的價格出售。套利定價理論是一種均衡模型，用來研究證券價格是如何決定的。它假設證券的收益是由一系列產業方面和市場方面的因素確定的。當兩種證券的收益受到某種或某些因素的影響時，兩種證券收益之間就存在相關性。

假設有三種證券，它們都服從單因素模型,因素是F。它們的期望收益率 和關於因素F 的敏感度b 都列在表中：投資者總資產是1500 萬元，三種證券的組合p

即每一種證券都投資500 萬元。這一組合未必是一個最優的組合。

投資者對上述組合p 作改變，記Δx 是投資於證券s的比例的改變數，亦即改變后的組合是:

並且Δx , Δx , Δx必須滿足下列要求，亦即滿足下列套利原理:

(1) Δx + Δx + Δx = 0 ,這表示投資者總投資額不變，既沒有增加投資的總資金，也沒有從原有投資總額中抽回部分資金。

(2)bΔx +bΔx +bΔx = 0 ,這表示改變后的組合P′的因素風險不變，它與組合p 的因素風險相同。

(3) ,這表示由於這一改變會增加期望收益率，或者說改變后的組合p′的期望收益率高於原來的期望收益率 ,我們稱上述組合(Δx,Δx,Δx) 是套利組合，投資者能夠利用這一組合進行套利。

由上面的(1) 和(2) ,需要解一個齊次方程組:

將左端含有Δx的項移到右端：

將Δx 看作參數，解上述非齊次方程組得:

由此我們便得到下面的結論：若取Δx > 0 ,那麼Δx > 0 ,Δx < 0 ,這表明必須減少對證券3 的投資，增加對證券1 和證券2 的投資。再由(3) , Δx,Δx,Δx還須滿足:

= 9.75Δx > 0

很顯然Δx 必須大於0 ,這表示改變后的組合可多獲得的期望收益率為9.75%Δx,在不允許賣空證券的情形下，減少證券3 的投資，至多減少投資於證券3 的比例是0 ,這樣我們又得到一個不等式:

即：

綜上所述,

時增加的期望收益率最大，這時套利組合,

增加的期望收益率是:

9.75Δx% = 1.86%

此結果表示，投資者如果改變原來的組合,

改變的量是套利組合(),

改變后的組合是，亦即改變后投資於證券1 和證券2的資金分別是:

(萬元)

(萬元)

投資於證券3 的資金為0 ,這樣做的結果比原先的組合p 增加期望收益率1.86 % ,而因素風險不變，投資者套利成功。

在一個均衡的市場中套利現象不會發生，套利組合成為(0 ,0 ,0) ,或者套利一旦發生將會迅速消失，最後各個證券將在市場中找到自己的合適位置，在市場調節下，它的期望收益率既不會過高也不會過低，滿足一個均衡狀態下的方程式:

式中,r是無風險利率,λ是因素F 的單位風險溢酬。該方程即是APT定價模型。

假設一：無摩擦的市場.

假設二：無操縱市場.

假設三: 無制度限制.

這些關於理想化資本市場的三個假定與資本資產定價模型中的要求是一致的.

假設四: 資產收益由因素模型決定.

假設五: 同質預期

假設六: 市場上存在無風險資產

假設七: 滿足無套利原理

定理:(套利定價)假定風險資產收益滿足上面的因素模型，並且不存在套利機會。則存在使得下式成立:

(11)

(12)

這裡就不給具體證明，後面的筆記中將會提及更一般的資本資產定價理論.

證明思路:

試圖構造一個套利組合。該組合自然首先要滿足:

式(7),式(8),式(9)

再考慮式(10)對應的逆命題對應(就是無套利原理):

即

(13)

如果式(7),式(8),式(13)同時成立，表明當時:

l(列向量),B(K個列向量),a(列向量)都和w正交.

根據線性代數里的結論我們知道:

a可以表示為[1　B]這(K+1)個列向量的線性組合.

即，當時，存在:

(14)

APT和CAPM

1．套利定價模型（APT）跟資本資產定價模型（CAPM）一樣，是證券價格的均衡模型。

2. APT比CAPM需要更少的限制性的假設。

3. APT與CAPM的作用十分相似。它可以作為公平收益率，因此可用於資本預算、證券估價或投資業績評估。並且，套利定價理論還可以說明兩種風險之間更嚴格的區別：不可分散風險（系統風險）要求風險溢價形式的回報，而可分散風險則沒有這樣的回報要求。

凱恩斯選美論

選美論是由英國著名經濟學家約翰·梅納德·凱恩斯（John Maynard Keynes）創立的關於金融市場投資的理論。凱恩斯用“選美論”來解釋股價波動的機理，認為金融投資如同選美，投資人買入自己認為最有價值的股票並非至關重要，只有正確地預測其他投資者的可能動向，才能在投機市場中穩操勝券，並以類似擊鼓傳花的遊戲來形容股市投資中的風險。

隨機漫步理論(Random Walk Theory)

1959年，奧斯本(M．F．M Osborne)提出了隨機漫步理論，認為股票交易中買方與賣方同樣聰明機智，現今的股價已基本反映了供求關係；股票價格的變化類似於化學中的分子“布朗運動”，具有隨機漫步的特點，其變動路徑沒有任何規律可循。因此，股價波動是不可預測的，根據技術圖表預知未來股價走勢的說法，實際上是一派胡言。

現代資產組合理論(MPT)

1952年，美國經濟學家馬可維茨（Harry M．Markowit）在他的學術論文《資產選擇：有效的多樣化》中，首次應用資產組合報酬的均值和方差這兩個數學概念，從數學上明確地定義了投資者偏好，並以數學化的方式解釋投資分散化原理，系統地闡述了資產組合和選擇問題，標誌著現代資產組合理論（Modern Portfolio Theory，簡稱MPT）的開端。該理論認為，投資組合能降低非系統性風險，一個投資組合是由組成的各證券及其權重所確定，選擇不相關的證券應是構建投資組合的目標。它在傳統投資回報的基礎上第一次提出了風險的概念，認為風險而不是回報，是整個投資過程的重心，並提出了投資組合的優化方法，馬可維茨因此而獲得了1990年諾貝爾經濟學獎。

有效市場假說（EMH）

1965年，美國芝加哥大學金融學教授尤金·法瑪(Eugene Fama)，發表了一篇題為《股票市場價格行為》的論文，於1970年對該理論進行了深化，並提出有效市場假說（Efficient Markets Hypothesis，簡稱EMH）。有效市場假說有一個頗受質疑的前提假設，即參與市場的投資者有足夠的理性，並且能夠迅速對所有市場信息作出合理反應。該理論認為，在法律健全、功能良好、透明度高、競爭充分的股票市場，一切有價值的信息已經及時、準確、充分地反映在股價走勢當中，其中包括企業當前和未來的價值，除非存在市場操縱，否則投資者不可能通過分析以往價格獲得高於市場平均水平的超額利潤。

有效市場假說提出后，便成為證券市場實證研究的熱門課題，支持和反對的證據都很多，是目前最具爭議的投資理論之一。儘管如此，在現代金融市場主流理論的基本框架中，該假說仍然佔據重要地位。

2013年10月14日，瑞典皇家科學院宣布授予美國經濟學家尤金·法瑪、拉爾斯·皮特·漢森以及羅伯特·J·席勒該年度諾貝爾經濟學獎，以表彰他們在研究資產市場的發展趨勢採用了新方法。

瑞典皇家科學院指出，三名經濟學家“為資產價值的認知奠定了基礎”。幾乎沒什麼方法能準確預測未來幾天或幾周股市債市的走向，但可以通過研究對三年以上的價格進行預測。

“這些看起來令人驚訝且矛盾的發現，正是今年諾獎得主分析作出的工作”，瑞典皇家科學院說。

值得一提的是，尤金·法瑪和羅伯特·席勒持有完全不同的學術觀點，前者認為市場是有效的，而後者則堅信市場存在缺陷，這也從另一個側面證明，至今為止人類對資產價格波動邏輯的認知，還是相當膚淺的，與我們真正把握其內在規律的距離，仍然非常遙遠！

行為金融學（BF）

1979年，美國普林斯頓大學的心理學教授丹尼爾·卡納曼（Daniel Kahneman）等人發表了題為《期望理論：風險狀態下的決策分析》的文章，建立了人類風險決策過程的心理學理論，成為行為金融學發展史上的一個里程碑。

行為金融學（Behavioral Finance，簡稱BF）是金融學、心理學、人類學等有機結合的綜合理論，力圖揭示金融市場的非理性行為和決策規律。該理論認為，股票價格並非只由企業的內在價值所決定，還在很大程度上受到投資者主體行為的影響，即投資者心理與行為對證券市場的價格決定及其變動具有重大影響。它是和有效市場假說相對應的一種學說，主要內容可分為套利限制和心理學兩部分。

由於卡納曼等人開創了“展望理論”（Prospect Theory）的分析範式，成為二十世紀80年代之後行為金融學的早期開拓者，瑞典皇家科學院在2002年10月宣布，授予丹尼爾·卡納曼等人該年度諾貝爾經濟學獎，以表彰其綜合運用經濟學和心理學理論，探索投資決策行為方面所做出的突出貢獻。

現今成型的行為金融學模型還不多，研究的重點還停留在對市場異常和認知偏差的定性描述和歷史觀察上，以及鑒別可能對金融市場行為有系統影響的行為決策屬性。

大致可以認為，到1980年，經典投資理論的大廈已基本完成。在此之後，世界各國學者所做的只是一些修補和改進工作。例如，對影響證券收益率的因素進行進一步研究，對各種市場“異相”進行實證和理論分析，將期權定價的假設進行修改等等。