灰色決策

容維創富大趨勢中的灰色決策系統模型在籌碼恆倉模型、資金數理模型、動能推演模型、股價波動模型、球團滾動模型相對一致時是處於自由發展狀態的環境中，它會給股價一個極大的想象發展空間，只要股價不跌破上升價格，股價就將持續走高，只要股價不跌破下降價格，就不會出現賣出信號，相反，在股價不能突破下降價格時股價也不能擺脫一路下跌的風險，只有在股價突破上升價格時才能確定新資金進場，新行情的起動。

本文的工作可以分為以下幾個部分：

1·研究了灰色決策問題的區間關聯和區間聚類分析方法：提出了灰色區間關聯繫數公式和灰色區間相對關聯繫數公式，構建了幾種關聯度決策演演算法，對不完全信息下灰色區間關聯決策方法進行了研究。

2·在經典灰色規劃的基礎上，對灰色動態規劃、灰色多目標規劃演演算法、灰色正項幾何規劃進行了研究：提出了灰色動態規劃、θ動態定位規劃及其最優解的概念，構建了灰色動態規劃及θ動態定位規劃最優解的演演算法。對一般意義上的灰色多目標規劃，提出了客觀確定子目標權重的方法及修正方法，利用子目標的權重引入了各個子目標取最優值的白化權函數，構建了灰色多目標規劃有效解及其θ定位規劃最優解的演演算法。提出了灰色正項幾何規劃、θ定位幾何規劃及其准優解和最優解的概念，構建了灰色正項幾何規劃准優解的演演算法。算例說明了演演算法的合理性和可行性。

3·對灰色風險型決策方法進行了研究：提出了灰色多指標風險型決策的概念，對指標權重完全未知且指標值為區間灰數的風險型多指標決策問題，給出了灰色模糊關係法及雙基點法兩種決策方法，利用信息熵確定的屬性權重使決策方法更符合客觀要求。提出了具有交易費用的灰色組合投資模型的有效解及其臨界最優解和均值白化最優解的概念。

4·對灰色模糊決策方法進行了研究：提出了基於灰色模糊信息的多屬性決策的概念，構建了灰色模糊多屬性決策問題的演演算法，直接由灰色模糊決策矩陣確定變權的基礎權重和上確界，使演演算法在理論上更加嚴謹可靠。提出了灰色群決策問題的概念，給出了灰色群決策問題的解法，通過實例對解法的合理性進行了說明與分析。建立了基於灰色模糊關係的多屬性群體決策方法，分別對屬性權重向量已知和未知兩種情況給出了簡便實用的演演算法。最後，通過算例說明了各種演演算法的合理性。

5·對灰色粗糙決策方法進行了研究：提出了基於灰色綜合決策權的決策表離散化方法，對應用決策表方法解決實際問題時可能出現的問題進行了有益的探討，指出約簡過程要注意理論與實際相結合、定性與定量相結合，才能得到貼近實際的決策規則。

6·對灰色博弈決策方法進行了研究：提出了二人有限零和灰色博弈的概念，建立了帶有灰色約束的二人有限零和博弈模型和博弈平衡解優序關係的確定方法，該方法與傳統方法的不同之處在於，在灰色博弈模型中，考慮了博弈雙方在選擇自身的策略時受到了某個灰色不確定性約束。提出了具有混合策略的二人有限零和灰色博弈的概念，構建了具有混合策略的二人有限零和灰色博弈模型及其平衡解的求解方法。實例說明了有關概念及結論的合理性與求解方法的有效性.。

1982年，中國學者鄧聚龍教授創立了灰色系統理論。之後，灰色理論得到了廣泛的應用，併產生了一系列灰色決策方法，如：灰色局勢決策、灰色層次決策、灰色線性規劃、灰靶決策、灰色整數規劃、灰色大規模規劃，以及後來發展起來的灰色關聯決策、灰色聚類決策、灰色發展決策、灰色風險型決策、灰色漂移型線性規劃、灰色動態規劃和灰色多目標規劃等。胡笙煌針對主觀指標評價問題，提出了一種多層次灰色評價方法；何勇利用灰色系統理論中的關聯度分析法，給出了一種灰色多層次綜合評價模型，這種評判方法是一種直接方法，可用來對多指標多層次的複雜系統進行評判，並可克服模糊綜合評判中有些白化值經特徵化處理后信息丟失的弱點。美國的David K.W.N研究了灰色系統中的參數空間的混沌現象以及灰色理論與混沌理論的接軌問題；加拿大Huang G.H. Baetz B.W.等對灰色線性規劃GLP、灰色模糊線性規劃GFLP、灰色模糊動態線性規劃GFDP等進行了研究。這些決策方法不僅在理論上發展和完善了灰色系統理論，而且在經濟、農業、醫療、生態、氣象、政法、歷史、文化、出版、交通運輸、管理、工業控制等眾多科學領域，成功地解決了生產、生活和科學研究中的大量實際問題。

在實際生活中，更多存在的是帶有不確定信息的系統。不確定性又可分為隨機性、模糊性和灰色性，它們經常在同一個系統中同時存在。其中，由鄧聚龍提出的灰色理論用來描繪系統的灰色。隨後其他研究者對灰色理論進行了大量的深入研究，並提出了灰色集合。在理論不斷的發展過程中，人們發現將決策問題中的模糊性和灰色性結合起來更符合客觀事物的實際情況。2000年，陳大為將模糊集合和灰色集合擴展開來，提出了灰色模糊集合，並定義了灰色模糊集合，將灰色模糊集合擴展到灰色模糊數、灰色模糊關係等方面。目前，對灰色模糊多準則決策的研究主要有這樣幾類：第一類，分別採用灰色或模糊的方法對備選方案進行排序或選優，然後再將這兩類方法得出的結果進行綜合結集，最後得到結果。這類方法利用了組合決策的理論，取得了不錯的效果，但在實際中丟失了大量信息，並且切斷了模糊性和灰色性之間內在的聯繫。它只是幾種方法簡單的集結，還沒有涉及到灰色模糊的本質。這類問題用到了模糊貼近度、灰色關聯度以及灰色模糊聚類等方法。第二類，決策信息用模糊數來表示，然後在用灰色關聯度來排序、選優。這裡將決策中的模糊性考慮進去了，但沒有真正考慮決策信息及給出的方案的準則值所具有的灰度。第三類，直接用灰色模糊數來表示準則權重和準則值。目前這類研究主要用灰色模糊數來表示權重信息，但是研究還不是很深入，對準則值為灰色模糊數的研究很少，對各種類型的用灰色模糊數表示決策信息的研究更少。

目前在灰色模糊數理論方面的研究已經有不少成果了。2001年，卜廣志和張宇文對灰色模糊數的運算給出了定義，2006年，朱紹強等對灰色模糊數的擴展有了進一步闡述，提出了區間灰色模糊綜合評價方法，為將灰色模糊數應用到決策理論中提供了理論基礎。

從17世紀開始，概率論與數理統計被應用於研究和處理隨機性信息。1965年美國自動控制專家扎德提出了模糊集(Fuzzy Set)概念，從而引出了模糊性信息的處理方法——模糊數學。但是，這兩種數學方法對於灰色信息這樣一種重要的不確定性信息的處理卻無能為力。概率統計、模糊數學和灰色系統理論是三種最常用的不確定性系統的研究方法，研究對象都具有某種不確定性，這是三者的共同點。正是研究對象不確定性上的區別才派生出了三種各具特色的不確定性科學。但是事物本身可能不止含有一種不確定性，而是同時含有兩種或更多種不確定性。因此，在數學上不僅應該研究事物的各種單一不確定性，也應該研究各種複合不確定性。

陳大為在分析了三種不確定性后，提出了灰色模糊集合的概念。這種集合是一種模糊集合，但其隸屬函數卻是在信息不完全的情況下確定的，即隸屬函數帶有灰度。他給出的定義是：如果一個模糊集合的隸屬函數帶有灰度，那麼就稱為灰色模糊集合。

採用灰色模糊數進行運算時，首先要了解灰色模糊集合的定義。

定義1：設是空間上的模糊子集，若對於的隸屬度是上的一個灰數，其點灰度為，為的支集，則稱為上的灰色模

糊子集或灰色模糊集合，簡稱GF集，記為，即

注意：根據灰集擴張原理，這裡假定的點灰度等於的點灰度，若，則對應的點灰度為。

顯然，可以寫成，因而可用“集偶”表示為

其中，。

定義2：稱為灰色模糊集的分部表示，其中稱為的模糊部分（簡稱模部），稱為的灰色部分（簡稱灰部）。如，，則，如，，則。所以，可將灰色模糊集合看作時對模糊集合和灰色集合的綜合和推廣。

一個灰數就是信息不完全的數，若一個模糊數是信息不完全的，則它自然是一個“灰色模糊數”。

定義3：若GF集的模部是一個模糊數，的灰部是一個灰數集，則稱為灰色模糊數，簡稱GF數，記作。特別是，若為粗糙GF集，則稱為粗糙GF數。

灰色模糊數是數域上的GF集。

關於灰色模糊數的四則運算，根據擴展原理有如下定義：

定義4：設，，*為R上的二元運算，，則，且

，

其中與，與分別為，的模部與灰部。

定義5：若灰色模糊數的模部是一個閉區間，則稱為灰色區間數，簡稱灰區間數，記作或。

任一模糊關係，若是灰色的（即信息不完全的），則為一“灰色模糊關係”。

定義6：給定空間與，若與對模糊關係的隸屬度有點灰度，則稱直積空間中的灰色模糊集合：

為上的灰色模糊關係，簡稱GF關係。

當時，稱為上的GF關係。

由於上的GF關係時中的GF集，所以GF關係間的包含、相等、並、交以及補等概念都與GF集的相應概念相同。

GF關係的分部表示為，其中為上的模糊關係，為上的灰色關係。

定義7：設GF關係的分部表示為，若其中時模糊等價關係，是灰色等價關係，則稱為灰色模糊等價關係，簡稱GF等價關係。

有了GF等價關係的概念，就可對GF集進行劃分或聚類。

定義8：設和分別為與上的GF關係，則稱上的GF關係。

為GF關係與的合成。

當，，均為有限集時，GF關係及其合成可以用“GF矩陣”來表示。

定義9：設是一個模糊矩陣，若元素有點灰度，則稱以序偶為元素的矩陣

為灰色模糊矩陣，簡稱GF矩陣，記作。

定義10：稱為GF矩陣的灰度，記作。

定義11：設，，則稱GF矩陣為與的合成，記作。

定理1：若，，則

根據灰色模糊數的定義可以知道灰色模糊數的表達方式為：

通過模糊數的定義可以知道，閉區間是特殊的一種模糊數，稱為區間數。

定義12：設Z是一個灰色模糊數，若它的模部是一個閉區間，灰部的灰度也為閉區間，即模部的模糊數用區間數表示，，。其中，。則稱為區間灰色模糊數。

當模部時，則區間灰色模糊數退化為灰色數；當灰部時，則區間灰色模糊數退化成一般的模糊數——區間數。當，即灰部為實數，模部變成普通的模糊數形式時，則為一般的灰色模糊數，即傳統的灰色模糊數。對於模部的模糊數，在現實生活中，要獲得一個和現實很符合的經驗隸屬函數是比較難的。尤其是當實際中碰到的決策問題經常沒有一定的規則，而決策者也通常給不出一個精確值，因此用區間數來表示模糊數更加方便也現實些。

相對於一般的區間數，區間灰色模糊數增加了一個為區間值的灰部，用來描述在確定某準則值或準則權重值的同時，獲得的信息量的多少。通常人們描述灰度是用精確值，但是在現實生活中，給出一個區間值比給出一個精確值更加容易，所以灰度用區間值來描述更加合理，能更準確地反映決策者獲得的信息。表示獲得的信息的可信程度。那麼，灰部的灰度越大，則獲得的信息量越少，獲得的信息的可信度越低，即表示給出的值的可信度越低，信息的利用價值越低，當灰度大到一定程度，說明獲得的信息沒有什麼可利用的價值；反之，灰度越小，則獲得的信息量越多，獲得的信息的可信度越高，得到的值越可靠，此時獲得的信息的利用價值越高。

設兩個區間灰色模糊數、，根據定義4中對灰色模糊數運算的定義，將其擴張到區間灰色模糊數，它們的運算規則如下：

,

,

,

，其中r為正實數。

定義13：設Z1、Z2為兩個區間灰色模糊數。F是區間灰色模糊數的集合，d是一個映射：。如果滿足：

（1）；

（2）；

（3）若Z3為任一區間灰色模糊數，，則為區間灰色模糊數Z1和Z2之間的距離。

定義14：設兩個區間灰色模糊數和，則區間灰色模糊數的海明距離為：

當時，則區間灰色模糊數退化成區間數，此時區間數的距離為：

證明：在定義13中的（1）和（2）顯然成立，只需證明定義13中的（3）即可。

對於任意的區間灰色模糊數Z1、Z2、Z3，有：

同理可以證明：

所以，滿足定義13中的（3）。定義14中的距離符合距離的條件。特別地，當灰部值為0時，則變為一般區間數的距離。

定義13中的距離有這樣的性質：

（1）設Z1、Z2為兩個區間灰色模糊數，當趨於0時，Z1就非常接近Z2。當時，兩個數相等。

（2）設Z1、Z2、Z3為三個區間灰色模糊數，Z1比Z2更接近Z3的充分必要條件是。若，則Z1、Z2分別到Z3的距離是相等的。

設某灰色模糊多準則決策問題的準則有n個，記為；有m個方案，記為，各準則的權重集為：，且權重集要求歸一化，即。方案在準則下的值為。

其中，和都為在論域[0,1]上的灰色模糊數，可具體表示為：，，表示信息量多少的灰色模糊數的灰部。其中，，。然後確定各方案的排序。

由於信息的不完全，準則值在集結過程中的重要性程度有了一定的影響，這通過灰色模糊數的灰部可以反映出來。但是，在灰色模糊數計算時，只考慮了模部與模部集結，灰部與灰部集結，而沒有考慮灰部對準則值的模部的重要性程度的影響，從而，灰部的信息沒有得到充分的利用。因此，根據灰度的大小，引入OWA運算元對準則值進行集結，充分利用了灰部對準則值以及準則權重的影響。

灰色模糊多準則決策步驟如下：

步驟1：準則值的規範化。

將不同量綱的準則值進行規範化處理，消除量綱的影響。準則值有效益型、成本型和區間型等，成本型和區間型均可轉化為效益型，因此，不妨設這裡的準則值都是效益型。對於本節中準則值為區間灰色模糊數的形式，主要是對為區間數的模部進行規範化。灰色模糊決策矩陣C的規範化一般可採用:

，

C經規範化后得矩陣R：

步驟2：對權重向量的歸一化處理。

對於權重集

，根據下式歸一化：

步驟3：確定OWA相關聯的加權向量。

這裡先介紹一下與OWA運算元相關的內容。

定義15：設，若

其中是與函數OWA相關聯的加權向量，，且是一組數據中第j大的元素，R為實數集，則稱函數OWA是有序加權平均運算元，也稱為OWA運算元。

OWA運算元中的確定可採用下式：

，且

求得加權向量為：

步驟4：利用OWA運算元對方案的準則值進行集結，求得其綜合準則值：

其中是OWA相關聯的加權向量，；且是一組加權數據中灰度第i大的元素，是數據組的加權向量，，n是平衡因子。

由於和都為灰色模糊數，在運算時，為了保留儘可能多的信息，模部采M(·,+)運算元，灰部採用M(⊙,·)運算元，則有：

所以有：

，

，，。

由於灰部是區間數，大小不可以直接比較，因此，通過下式計算出灰部區間數的序排序值，進行區間數的排序：

其中，可理解為決策者對待風險的態度，。對於中立型決策，。

步驟5：計算各個方案的綜合準則值。

對綜合準則值的灰部區間數先化為一個實數，此時取=0.5，記為。利用下式將灰色模糊數化為兩參數區間數，得：

計算出每個方案的綜合準則值，按的大小進行排序。

步驟6：比較各個方案的排序值，即可得出各方案的優劣排序。

下面用一個區間灰色模糊數的實例來說明。

這是一個飛機研製方案的優選。其主要考慮的因素有系統效能、壽命周期費用和研製周期，這三個準則指標。現有四個待選方案。由多位專家分別給出權重集和評價矩陣，然後經統計計算，得權重集：

。

根據步驟2，歸一化得：

。

每個方案的準則值及灰度經過無量綱化后，所構成的灰色模糊決策矩陣為：

根據步驟3，確定OWA相關聯的加權向量。求得加權向量為：

其中，這裡取。

根據步驟4，計算得各個方案的綜合準則值為：

，

，

，

根據步驟5，將為灰色模糊數的綜合準則值轉化為兩參數區間數：

，，，

計算出每個方案的綜合準則值，：

，，，

其排序結果為：

對於風險偏好型而言，取，有：

即。此時，方案排序為，即最優方案為，最劣方案為。

對於風險厭惡型而言，取，有：

即。此時，方案排序為，即最優方案為，最劣方案為。

對於心態屬於風險中立者而言。此時，方案排序為：

即最優方案為，最劣方案為。