高等代數學

出版日期：2004-7-1

出版社：清華大學出版社

本書主要內容為線性代數、包括數與多項式，行列式，線性方程組，矩陣，線性空間，二次型，線性變換，空間分解，矩陣相似，歐空間和酉空間，雙線性型；選學內容有正交幾何與辛幾何，Hilbert空間，張量積與外積等。內容較深厚，便於讀者打下優勢基礎；觀點較新，便於讀者適應現代數學，還有若干介紹性內容，可作為高校數學、物理、計算機與電子信息等理工專業的教材，或供其他專業參閱，本書成書於作者長期在中國科學技術大學和清華大學講授此課及從事代數學方面的研究工作，編寫時參閱了國外若干著名教材，書中配有難易不等的豐富例題與習題，書後有答案與提示，附錄，中英文名詞索引，及參考書目。

此次再版重寫了部分內容，使更易理解。也增寫了新內容，並將全書分為三部分.

第Ⅰ部分，基礎內容(第1~6章).可作為高校各專業的線性代數教材，講授1學期(可略去第1章，適當介紹二次型).此次重寫了矩陣的廣義逆，增寫了最小二乘法(參考內容).

第Ⅱ部分，深入內容(第7~9章).可作為高校理工科，如數學、物理、計算機科學與技術、電子信息與電氣等學科的第2學期教材。此次將歐幾里得和酉空間兩章合併，改寫了正交相似相抵。參考內容中，重寫了模的分解，增寫了群表示和特徵(變換族),以及無限維空間.

第Ⅲ部分，選學內容(第10~12章).增加了兩章: 正交幾何與辛幾何,Hilbert空間。都是歐幾里得和酉空間的發展。前者的基域可以是任意域(例如二元域F2), “內積”可以是對稱的，交錯的，奇異(退化)的；而Hilbert空間即是無限維的完備的酉空間。這些內容在科學和技術的眾多領域很重要，清華大學李大法教授等多次建議作者加以介紹。連同張量積和外積，此三章內容精簡，宜作選讀。一般不在基礎課課內詳講，或僅作介紹。也可供有關人士參考。本書的第二，三部分也可用作一些高校高年級本科生和研究生的教材.

此外，應雙語(包括海外)人士的建議，增寫了英—中文名詞索引以便於查閱。附錄中增加了拓撲基礎。還增加了一些習題。與本書配套編寫了《高等代數解題方法》(清華大學出版社),給出了全部習題的分析解答，便於讀者自學.

自本書出版以來收到眾多反映，作者在此對各方支持深表感謝。此次再版參考了一些國內外文獻(見參考書目),尤其是S. Roman, J.Weidmann, B. Jacob等的書，深表感謝.

現代數學，尤其是代數，對初識者往往暗顯出挑戰性。可它是如此的重要和美妙，令任誰都欲罷不能:

數學王子高斯(C.Gauss)有名言: “數學是科學之王，數論是數學的皇后”.

數學奇才、全才愛爾特希(P. Erd?s)說“數學乃是人類所從事的唯一一種永恆的活動”.

微分拓撲奠基人惠特尼(H. Whitney)說: “創造性的數學工作並非少數天才的特權，它可以是我們之中有強烈願望和充分自主性的任何人的順乎自然的活動”.

數論大家賽爾伯格(A. Selberg)感慨到: “我很同情非數學家，我覺得他們失去了一種最激動人心的、豐富的智力活動的回報”.他還指出, “今天的數學主要關心的是結構以及結構之間的關係，而不是數之間的關係。這種情況最初發生在1800年左右，首次的突破是抽象群概念的引入，目前它在數學領域中無所不在.”

法國大數學家嘉當(H. Cartan)指出: “我們目睹了代數在數學中名副其實的到處滲透”,“日益清楚的意識到代數概念在數學的幾乎所有分支中所起的作用”, “隨著目前數學的這種代數化，任何研究人員再也不能無視近世代數這一必不可少的工具了”.

我國古哲有言: “水之積也不厚，則其負大舟也無力。風之積也不厚，則其負大翼也無力.” “適千里者三月聚糧”.深厚的數學基礎，對於科學的遠行人，是載送航船的海水，是舉托鵬翼的扶搖. “自強不息，厚德載物”，正是清華的校訓和傳統。校訓源自《易經》中“乾”和“坤”的象傳: “天行健，君子以自強不息”, “地勢坤，君子以厚德載物”.它承傳了古賢對宇宙萬物的觀歷感悟，法乎天地，合於乾坤，成就了多少有志“君子”.引發“君子以自強不息”的“乾”的主文共六句話，可解釋為對一事物(以“龍”指稱)的發生—發展—興盛—衰落過程的深刻辯證揭示, “君子”的人生尤其如此: 初潛勿用，次現宜行。中當自強，雖危無咎。進機或躍，勿須憂懼。德合天地，與時騰飛。高極必反，悔之未晚。我初中母校正好在青龍山山坡上，澗繞山環。去年50年校慶時應校長之令，寫下《青龍頌》一詩。借題發揮，在此送給自強不息的青年“君子”:

青龍潛卧隱壑山,

夕惕若厲日乾乾.

或躍在淵咎何有,

數及九五飛在天.

作者

2003年5月於清華園

引言Ⅵ

再版引言Ⅸ

第Ⅰ部分基 礎 內 容

第1章數與多項式3

1?1數的進化與代數系統3

*1?2整數的同餘與同餘類5

1?3多項式形式環8

1?4帶余除法與整除性10

1?5最大公因子與輾轉相除法12

1?6唯一析因定理15

1?7根與重根18

1?8C[X]與R[X]21

1?9Q[X]與Z[X]22

1?10多元多項式26

1?11對稱多項式27

習題130

第2章行列式36

2?1排列36

2?2行列式的定義37

2?3行列式的性質40

2?4Laplace展開46

2?5Cramer法則與矩陣乘法49

2?6矩陣的乘積與行列式52

2?7行列式的計算54

習題262

第3章線性方程組69

3?1Gauss消元法69

3?2方程組與矩陣的秩72

3?3行向量空間和列向量空間75

3?4矩陣的行秩和列秩79

3?5線性方程組解的結構80

3?6例題83

*3?7結式與消去法86

習題390

第4章矩陣的運算與相抵95

4?1矩陣的運算95

4?2矩陣的分塊運算97

4?3矩陣的相抵100

4?4矩陣運算舉例103

4?5矩陣與映射110

*4?6矩陣的廣義逆113

*4?7最小二乘法116

習題4118

第5章線性(向量)空間123

5?1線性(向量)空間123

5?2線性映射與同構127

5?3基變換與坐標變換129

5?4子空間的和與直和131

*5?5商空間135

習題5138

第6章線性變換143

6?1線性映射及其矩陣表示143

6?2線性映射的運算146

6?3線性變換147

*6?4線性表示介紹150

6?5不變子空間154

6?6特徵值與特徵向量157

6?7方陣的相似159

習題6164

第Ⅱ部分深 入 內 容

第7章方陣相似標準形與空間分解173

7?1引言：孫子定理173

7?2零化多項式與最小多項式176

7?3准素分解與根子空間179

7?4循環子空間187

7?5循環分解與有理標準形189

7?6Jordan標準形194

7?7λ\|矩陣與空間分解203

7?8λ\|矩陣的相抵與Smith標準形205

7?9三種因子與方陣相似標準形212

*7?10方陣函數220

*7?11與A可交換的方陣230

*7?12模及其分解234

7?13若干例題238

習題7240

第8章雙線性型、二次型與方陣相合247

8?1二次型與對稱方陣247

8?2對稱方陣的相合250

8?3正定實對稱方陣256

8?4交錯方陣的相合及例題258

8?5線性函數與對偶空間260

8?6雙線性型264

8?7對稱雙線性型與二次型266

*8?8二次超曲面的仿射分類268

*8?9無限維線性空間271

習題8273

第9章歐幾里得空間與酉空間279

9?1標準正交基279

9?2方陣的正交相似283

9?3歐幾里得空間的線性變換288

9?4正定性與極分解290

*9?5二次超曲面的正交分類293

9?6例題295

9?7Hermite型301

9?8酉空間和標準正交基306

9?9方陣的酉相似與線性變換307

*9?10變換族與群表示311

9?11型與線性變換318

習題9322

第Ⅲ部分選 學 內 容

第10章正交幾何與辛幾何333

10?1根與正交補333

10?2正交幾何與辛幾何的結構335

10?3等距變換與反射338

10?4Witt定理340

10?5極大雙曲子空間342

習題10344

第11章Hilbert空間347

11?1內積與度量空間347

11?2內積空間與完備352

11?3逼近與正交直和354

11?4Fourier展開355

11?5等距同構於?2（I）359

11?6有界函數與Riesz表示360

習題11361

第12章張量積與外積363

12?1引言與概述363

12?2張量積368

12?3線性變換及對偶374

12?4張量及其分量377

12?5外積380

12?6交錯張量384

習題12389

附錄394

1集合與映射394

2無限集與選擇公理397

3拓撲空間399

習題答案與提示404

參考文獻423

符號說明424

英\|中文名詞索引426

中\|英文名詞索引434