白正國

1916年12月17日，白正國出生在浙江省平陽縣騰蛟鎮的一個小商家庭里，父親在鎮上開了一個中藥鋪。3歲時父親不幸去世，藥鋪也就停業。母親帶著他與哥哥遷回湖竇村的祖屋，一家三口艱苦度日，相依為命。8歲時就讀於湖竇村惟一的一所初級小學。全校只有一位老師，並班上課，主要學習語文。教材除小學語文課本外，有時也選讀《古文觀止》和《左傳》的一些文章。三年級時，學校添聘了一位教師，於是才開始學習四則運算。白正國以他敏捷而正確的運算能力經常博得老師的表揚。從此他更加用功讀書。

1933年初中畢業后，因家境貧寒，白正國無力再上高中，只得接受騰蛟小學的聘書，準備當一名小學教師。就在上任前夕，突然接到一封通知信，說白正國在當年全省初中應屆畢業生會考中，成績特別優異，名列全考區甲等第一，被在溫州工作的平陽同鄉們所讚譽，其中有些人願意贊助他繼續升學。這樣，白正國才得以免試進入溫州中學高中部讀書。因為有了這樣的榮譽，白正國在三年高中階段處處受到老師和同學們的關注，迫使他學習上特別刻苦努力，日常生活中規規矩矩，不敢馬虎。在各門課程中，他對數學最感興趣。三年中他看了許多參考書，自學了微積分與射影幾何。其中對嚴濟慈的《幾何證題法》和Salmon的“Conic Sections”兩書特別感興趣。當時，有一位留學過日本的數學老師對白正國的愛好數學非常關心，有一次對他說：“你們平陽出了兩位著名的數學家姜立夫和蘇步青。”又說：“蘇步青和陳建功都是留學日本的，在日本時就很有名氣。現在他倆都在浙江大學任教授。你既然喜歡數學，畢業后可以去考浙江大學數學系。”這些話對白正國以後的數學生涯起了重要作用。

1936年，白正國報考國立浙江大學數學系。在“求過四定點的拋物線”的考題中，他正確解出了兩條拋物線，引起了蘇步青教授的關注。當時竺可楨任校長，校風嚴謹。竺可楨聘用教授相當嚴格，全校教授為數不多，其中以蘇步青和陳建功的聲望最高。他們倆曾約定，決心要在浙江大學辦一個世界一流的數學系；所有重要的數學課程都由他倆親自講授。四年的大學學習，使白正國打下了紮實的數學基礎，並具備了從事科學研究的能力。

1937年，抗日戰爭爆發。是年冬天，浙江大學開始輾轉內遷。最後於1940年遷到貴州遵義，次年理學院又遷至貴州湄潭。白正國在遵義畢業后，留校任助教。執教之餘，選定射影微分幾何為研究方向。其時，白正國的老師蘇步青在射影微分幾何方面的研究已具有國際聲譽，尤其在射影曲線論方面形成了有自己特色的理論。射影微分幾何這一研究領域的重要奠基人之一是義大利著名數學家G.Fubini，他和其他在這一領域工作的學者所著的書和發表的文章，大多是用義大利文和法文寫的。鑒於閱讀文獻的需要，白正國開始學習義大利和法文。

從1941年起，白正國發表了一系列關於射影曲面論方面的文章。這些文章都是在抗日戰爭進行多年、各方面條件及其艱苦的環境中完成的。他的第一篇論文發表在中國數學會主辦的《科學記錄》上，該雜誌是當時我國出版的可以發表數學論文的惟一的一種學術刊物，採用英文發表，品位算是高的。可是由於物價飛漲，竟不能用起碼的新聞紙印刷，而是用粗糙的土紙印刷。白正國至今還珍藏著這篇用土紙印刷的論文單行本。

由於白正國在數學研究上的出色成績，1943年他被浙江大學聘為研究助教。當時抗日戰爭正在進行，各方面條件都很艱苦。具白正國本人回憶，他做助教第一個月的工資是70元，學校按月扣除10元抵還他讀書時向學校借的貸金，實發60元。白正國託人到貴陽買了一個2磅熱水瓶花去30元，買了12尺白竹布做床單花去10元，剩下20元只能勉強吃飽飯。那年頭物價飛漲，工業品極貴，拿到的工資只能勉強吃飽穿暖而已。但即使在這樣困難的條件下，浙江大學在竺可楨校長的領導下，對科研十分重視。當時內遷在昆明的由北京大學、清華大學和南開大學聯合起來的西南聯合大學設有“研究助教”一職。竺校長借鑒此況，聘白正國為研究助教，以讓他集中精力搞好科學研究。這是浙江大學的唯一的一例。

由於國內發表論文的條件太差，白正國只得把論文航寄到美國去投稿。但抗日戰爭時期郵路不暢，沒有迴音。直到1945年抗日戰爭勝利結束后，白正國才從美國“數學評論”（Math.Revi.）的微縮膠捲上得知自己的好幾篇論文已經發表在美國數學會的雜誌上。浙江大學因此向在重慶的教育部申請晉陞白正國為講師。那時國立大學的教師晉陞等級都要向教育部提出申請，批准后發下證書。蘇步青和陳建功被聘為“部聘教授”，算是教授中最高的榮譽，能獲此殊榮的教授為數極少。

抗日戰爭勝利結束后，中美開始通郵。白正國發表在美國的近10篇論文的單行本也陸續寄來。這些反映白正國多年研究成績的實物憑證，使他在浙江大學的學術聲譽大為提高。1948年，浙江大學提升白正國為副教授。一個沒有出國留過學的大學畢業剛8年的年輕人被晉陞為副教授，這在當時的浙江大學是非常少見和十分不易的。

1952年，全國高校院系調整，白正國被安排到新成立的浙江師範學院數學系工作。當時數學系條件很差，不但師資不足，圖書設備陳舊，數量又少，根本沒有辦法做科研，甚至連開設高年級課程的師資和條件都成問題。白正國擔任幾何教研組組長，主持組織讀書報告討論班，硬性規定每一個教師都要參加報告。經過他幾年的苦心經營，教師水平都有了較大提高，學風也大為改進，為後來的杭州大學數學系的發展打下了基礎。

1958年．杭州大學新成立，陳建功教授被任命為杭州大學副校長，白正國任杭州大學數學系主任。同年，浙江師範學院與杭州大學合併，定名杭州大學。白正國參與合併后的數學系的領導工作。他對教師的進修與培養非常關心。他自己也開始轉向黎曼幾何的研究。1962年，經國務院批准，他開始招收三年制研究生。為響應國家加強基礎理論建設的號召，當年他和陳建功教授各招收了5名研究生。以後又陸續招收研究生。他所培養的這些研究生，如今不少已成為卓有成就的骨幹教師，如杭州大學博士生導師沈一兵教授，南昌大學數學系主任歐陽崇珍教授，杭州師範學院圖書館館長蔡開仁教授等。

“文革”期間，白正國受到衝擊，研究生停招，科學研究橫遭批判。這期間他曾經參加浙江省氣象局的颱風路徑數值預報的研究工作，研究小組集體發表了一篇論文，獲浙江省科委頒發的二等獎。粉碎“四人幫”之後，在復興杭州大學數學系的過程中，年屆花甲的白正國又受命出任數學系主任。1982年起改任名譽系主任。1978年白正國被批准招收三年制碩士學位的研究生；1981年國務院學位委員會又第一批批准白正國為博士生導師。1991年獲國務院頒發的政府特殊津貼。經國家人事部批准，白正國被杭州大學聘為終生教授。

白正國的成名之作是在40年代初解決了射影微分幾何中著名的Fubini問題。

在30-40年代，以蘇步青為首的浙大射影幾何學派是與當時的義大利學派、美國學派三足鼎立的舉世公認的學派，白正國便是這個學派的代表人物之一。當時在射影微分幾何方面有一個引起國際數學界注意的問題：是否存在曲面，它的一族漸近曲線是互相射影等價的？問題的起因來自德國著名數學家W.Blaschke的一個定理：若非直紋曲面有一族漸近曲線屬於線形叢，則此族是射影等價的。義大利著名數學家G.Fubini研究了Blaschke定理的逆問題，即如果一族漸近曲線是射影等價的，則此族是否必屬於線形叢？Fubini自己解決了當曲面為直紋面時的情況，得到了問題的肯定回答。由此，Fubini提問：除了一族漸近曲線屬於線形叢的曲面以外，是否還有非直紋面的曲面，它的一族漸近曲線是互相射影等價的？這個難題被稱為Fubini問題。白正國經過潛心研究，終於圓滿地解決了此問題。回答也是肯定的，即：除了有一族漸近曲線屬於線形叢外，還存在且只存在一種特殊的射影極小曲面（projective minimal surfaces of concidence），它的一族漸近曲線是互相射影等價的。對白正國的這一結果，G.Fubini來信大加讚許，並要求雜誌社提前發表白正國的論文。後來，這一成果被載入由Terracini執筆的“Fubini傳”中。蘇步青教授在專著《射影曲面概論》中對他的得意門生的這個成果也以專題作了詳細介紹。此外，白正國在射影微分幾何的曲面論方面還有許多獨創性的工作。例如關於Moutard二次曲面，Godeaux二次曲面序列等，並對直紋空間中曲面的射影理論作了系統性的研究，完成論文近10篇，先後發表於40年代美國數學會的有關雜誌上。

從50年代起，白正國轉入一般空間的微分幾何學的研究。1957年，他發表了論文“關於空間曲線多邊形的全曲率”，推廣了著名的W.Fenchel定理，其結果如下：設C是空間一曲線多邊形，具有內角θ1…θn，則它的全曲率滿足下列不等式：

其中等號當且僅當由凸曲線弧連接而成的平面曲線多邊形時成立。在空間曲線的整體微分幾何中，這是一個非常簡潔而有鮮明幾何意義的不等式。它被載入《中國數學十年》一書，也被《中國百科全書》數學卷所提及。

1962-1966年期間，《數學學報》在杭州大學設立編輯部，由白正國負責。1965年在制定國家十二年科學規劃中，杭州大學數學系的幾何學和函數論都成為有關該項目的重點執行單位之一。

在黎曼幾何方面，白正國完美地解決了日本著名幾何學家矢野健太郎（K.Yano）提出的存在若干獨立保圓變換的黎曼空間的尺度形式問題，這是保圓幾何中一個關鍵性的基本問題。1980年，由著名數學大師陳省身教授倡導的“雙微”（微分幾何與微分方程）會議第一次會議在北京召開，出席會議的法國著名幾何學家M.Berger曾向白正國索要這個成果的論文單行本。此外，白正國還研究了黎曼空間中子流形的Codazzi-Ricci方程與Gauss方程的相關性，共形平坦黎曼空間及常曲率空間的曲率張量的特徵，共形平坦黎曼空間中的共形平坦超曲面等，先後在國內各大數學雜誌上發表論文10餘篇，得到了許多重要結果。粉碎“四人幫”后，白正國的研究方向又從黎曼流形的局部性質轉向整體性質。他對擬常曲率流形做了系統的研究，得到不少精彩的結果。例如，他證明了：可以等距嵌入兩個不同常曲率流形的黎曼流形必是擬常曲率流形，其逆亦真。這是一個前所未知的有趣定理。後來，巴西著名幾何學家M . do Carmo也獨立地得到了類似的結果。另外，白正國的整體子流形幾何方面也給出了不少很好的定理。

白正國曾獲浙江省科委頒發的二等獎。

白正國在學術上成就卓著，在教學和培養學生上兢兢業業。早在老浙大期間，當抗日戰爭勝利結束蘇步青被派去台灣接管台灣大學時，他就擔當起蘇步青當時所授的兩門主要課程“微分幾何”和“坐標幾何”的教學。1946年，浙江大學遷回杭州，蘇步青自己講授研究生的高等微分幾何課和主持“討論班”甲、乙等課程，那兩門課仍由白正國講授，直至1952年全國高校院系調整為止。這期間聽過白正國課的學生，有中科院院士谷超豪與王元，美籍數學家楊忠道教授，浙江大學博士生導師董光昌和郭竹瑞等。

1952年，全國高校院系調整后，白正國在浙江師範學院數學系一面執教，一面培養教師隊伍。那時正值大力提倡向蘇聯學習，白正國翻譯了俄文的幾何教材為教師講課。由於他在教學和科研工作上成績突出，受到浙師院領導的重視，於1956年被評為浙江省先進工作者。1956年白正國加入中國共產黨。在1958－1966年期間，白正國繼續組織教師舉行文獻報告會，並在課餘為教師講授“微分方程”等課程。他在參與數學系的領導工作期間，對教師的進修和培養非常關心，特別是對年輕教師的培養與提升尤為關注。他的想法和建議經當時的系黨總支領導的認可后，大部分都能付諸實施。例如，有一次教師調整工資，他認為有一位教師科研成績突出而工資偏低，主張給這位教師連升兩級。但上面不同意，認為全省無此先例。後來白正國通過系黨總支，經過兩次的堅決要求，終於被上面批准了。

正是由於白正國和陳建功的努力，杭州大學數學系在“文革”前夕，已從開課都成問題的極差境地發展成為有相當規模、教學和科研達到一個新階段、可躋身於國內名牌大學數學系之列的水平了。

“四人幫”被粉碎以後，白正國帶領杭州大學數學系重整雄風。他不僅繼續倡導“老浙大”蘇步青、陳建功的優良學風，而且身體力行，積極培養和發展學術階梯。經國務院批准，他招收了碩士學位和博士學位研究生。杭州大學是省屬重點大學，研究生生源受到較大影響。一般說，錄取的研究生起點水平沒有重點高校的高。但由於白正國對研究生要求非常嚴格，注意打好紮實基礎和訓練獨立科研能力，加上研究生們也能很好配合，多年來微分幾何方向的研究生都十分用功，因此畢業的碩士生和博士生都能達到合格的水平。有的還是相當優秀的，受到了國內同行的讚譽。例如，碩士生王國芳，博士生莫小歡、東瑜昕、朱小華、傅吉祥等，畢業后都做出了可喜的成績，為整體微分幾何這一研究領域增添了光彩。他雖年屆九旬，但仍繼續與沈一兵一起培養碩士和博士研究生。

白正國除曾任杭州大學數學系主任、名譽系主任，杭州大學學術委員會副主任，浙江省政協委員等外，還擔任過多種社會學術職務：《數學年刊》編委，《數學研究與評論》學術顧問，中國數學會理事，浙江省數學會理事長、名譽理事長，全國高校理科教材審編委員會委員、幾何拓撲組組長，《中國大百科全書》數學卷編委，第二次“雙微”國際討論會組織委員會委員，1987年“南開數學所”幾何年組織委員會委員，浙江省科學技術委員會學術委員等。1986年獲浙江省科委優秀論文一等獎，1987年獲浙江省教委自然科學研究一等獎，1990年獲國家教委科技進步三等獎，1995年獲國家教委高校優秀教材二等獎等。

白正國為人正直，謙虛誠懇，治學嚴謹，一絲不苟。平時雖講話不多，卻處處以身作則，勤奮踏實。正如中科院院士、復旦大學教授谷超豪與胡和生在慶賀白正國八十華誕的賀信中所寫：“1952年院系調整后，浙江省的數學研究和教學遇到一定困難，您繼續發揚浙江大學數學系原來的精神和風格，和同事們一起奮鬥了40多年，在杭州大學建設了一個高水平的數學系，成為我國數學研究和培養人才的重要基地之一，這是您的重要貢獻。您一貫堅持微分幾何的研究，早期在射影微分幾何方面做了很出色的成果。近年來適應國際發展潮流，在領導研究和培養人才方面又取得很大成就，優秀中青年人才不斷成長，成為整體微分幾何方面的堅強的新生力量。您誠懇謙虛，實事求是，專心致志於學術，具有中國知識分子的傳統美德，發揚這種美德，對於今天的中國是十分必要的。”

白正國雖已90高齡，但仍身體健康，精神抖擻，一如既往地投身於教學和社會活動，繼續為我國的數學教育和人才培養貢獻餘熱。

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共形平坦黎曼空間及常曲率空間的曲率張量的特徵，數學進展，9（1966）

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