堆疊素數論

華羅庚當年發現陳景潤，就是因為陳景潤在華羅庚寫的《堆疊素數論》中發現了一個錯誤，並且寫信告訴了他。而那時候，陳景潤就是一個默默無聞的小人物。按這裡的說法，正是一個“民間科研者”。

數論與或然數學的發展

7.1數論

7.1.1素數分佈

費馬數Fn = +1, n = 0,1,2,…

n = 0,1,2,3,4時,Fn是素數。人們進而希望解決的問題是：是否存在著無限多個費馬素數。這也是一個至今未解決的難題

梅森數Mp = 2p-1,其中p為素數

已知道的梅森素數共34個，其中從p =521開始的素數Mp是1952年以後用計算機陸續發現的

檢驗梅森數是否為素數的方法稱為盧卡斯―萊默檢驗，例如, 用盧卡斯―萊默檢驗判斷M5是否為素數，因M5=25-1=31,於是可作下述計算:

U(0)=4,

U(1)=(42-2)(mod 1)=14(mod31)=14,

U(2)=(142-2)(mod31)=194(mod31)=8,

U(3)=(82-2)(mod31)=62(mod31)=0

由於U(3)= 0,M5必為素數.

利用因數表研究素數

拉恩於(1659年)發表了2.4萬以內的因數表;

佩爾(1668年)擴大至10萬;

費爾克爾(1776年)給出了40.8萬以內的一切數的因數表,

19世紀不少學者算出了1000萬以內的所有數的因數表，其中布拉格大學的庫利克為此花費了20年的業餘時間

若用π(n)表示不超過n的素數的

個數。當n→+ 時, =+ .人們可以發現：順著自然數的序列，越往後素數的"密度" π(n)/ n就變得越小

7.1.2 陳氏定理―數學皇冠上的明珠

哥德巴赫猜想(1742年)

每個偶數都是兩個素數之和；每個奇數都是三個素數之和

哥德巴赫猜想的研究進展

數學家哈代和李特爾伍德(英國,1923年)在廣義黎曼猜想正確的前提下，有條件地證明了每個充分大的奇數都是三個奇素數之和以及幾乎所有偶數都是兩個奇素數之和.

維諾格拉多夫(1937年),無條件地證明了奇數哥德巴赫猜想，即每個充分大的奇數都是三個奇素數之和

布朗(挪威1919年)證明了：每個大偶數都是兩個素因子個數均不超過9的整數之和(記為9 + 9,記號k + l表示大偶數分解為不超過k個奇素數的積與不超過l個奇素數的積之和，下同)

布赫夕塔布的4 + 4(1940),瑞尼的l+c (c為一不確定大數)(1948)和庫恩的a+b (a+b≤6)(1954);

王元的2+3(1957)和潘承洞的1+5(1962),到1965年，歐洲數學家邦別里等三人差不多同時證明了1 + 3;1966年，中國數學家陳景潤宣布證明了1+2(1973年發表詳細證明)

陳景潤(1933~1996)簡介

圖7.1華羅庚(右)與陳景潤(左)

7.1.3費馬最後定理

費馬猜想:對每個正整數n≥3,方程xn + yn = zn均沒有正整數解(x, y, z).

費馬本人利用無限下降法證明了n=4時，費馬猜想成立.

1825年年僅20歲的德國數學家狄利克雷和年過七旬的法國數學家勒讓德各自獨立地證明了n = 5的情形,1839年法國數學家拉梅證明了n = 7的情形.

歐拉的整數分解的"定理":

由a + b 形式的數所形成的數系(記為 ,a,b為任意整數)中，有唯一因子分解定理成立，即每一個整數都可唯一地分解為這個數系中數的乘積.

後來才知道，對形如 的數系，唯一因子分解定理並不總是成立的，例如在數系 中,6 = 3×2 =(1+ )(1- ),就有兩種分解方式。事實上，能保證唯一因子分解定理成立的數系 只有9種

德國的數學家庫默爾(1810~1893)利用理想數的概念，證明了對於 100以內的所有素數，都能使費馬猜想成立.

志村-韋伊―谷山猜想――費馬猜想的等價命題

懷爾斯的論文"模曲線和費馬最後定理" (1994年)――費馬猜想終於成為定理，被稱為費馬大定理或費馬最後定理

7.1.4 讓我們教猜想吧

費馬猜想是只"會下金蛋的鵝"

1966年菲爾茲獎獲得者，英國數學家阿蒂亞(1929~)認為:"與其它自然科學的情況一樣，數學中的一些發現也要經過幾個階段才能實現，而形式證明只是最後一步。最初階段在於鑒別出一些重要的事實，將它們排列成具體含義的模式，並由此提煉出看起來很有道理的定律或公式。接著，人們用新的經驗事實來檢驗這種公式。只是到了此時，數學家們才開始考慮證明問題."

958年菲爾茲獎獲得者，突變理論的創立者，法國數學家托姆用半開玩笑的態度說:"嚴格性是一個拉丁名詞。我們會想起僵死(rigormorits),即僵化的屍體。我要把數學分為以下的三類：第一，以嬰兒搖籃為標記。這是'活的數學'允許改變，澄清，完成證明，反對，反駁。第二，以十字架為標記。這是墳墓上的十字架。作者聲明它已完全嚴格，具有不朽的正確性。這類工作將構成'墳墓數學'.第三，以教堂為標記。這是外部的權威，由高級教士組成，判斷哪些工作已成為'墳墓數學'."

推測數學家的成功範例之一是印度數學家拉馬努金(1887~1920)

波利亞認為，在數學教育中,"證明與猜想，這兩類推理即論證的與合情的"都必須教給學生,"在有些情況下教猜想比教證明更為重要."因此，波利亞強烈的呼籲:"讓我們教猜想吧!"

7.2.1 點的問題及數學期望

概率論源於15世紀下半葉的博奕問題的研究.

點的問題(1654年)

在兩個技巧相當的賭徒A和B之間進行賭博,A獲得2點或2點以上時為獲勝者,B則需獲得3點或3點以上時為獲勝者。如果通過四次投骰子后就停止賭博，問此時如何分配賭金.

帕斯卡利用自己對楊輝三角(見第二章)的研究這樣解決這個問題：如果用 表示0出現四次的情況數, 表示0出現三次的情況數等等。於是上述點問題的解是:

( + + ):( + )=(1+4+6):(4+1)=11:5.

在一般情況下，若A需要至少m點取勝,B需要至少n點取勝，則可選擇揚輝三角的第m+n行，求出該行中的前n個元素和α與后m個元素和β,並按α:β之比來分配賭金.

分別用0,1代表A,B在一次投骰子時成為獲勝者，然後計算0,1兩種字母在每次取4個的16種排列:

0000 0001 0110 1101

1000 1100 0101 1011

0100 1010 0011 0111

0010 1001 1110 1111

在這16種排列中,0至少出現2次的情況有11種，而1至少出現3次的情況有5種。由此費馬認為，賭金應按11:5來分配.

數學期望"概念的的產生(荷蘭數學家，物

理學家惠更斯,1657年)

賭局開始之前，對每一個賭徒來說就已有了關於結局的一種"期望",如果共有N種等可能的結果，其中,n種結果使他獲得賭金為a,其餘結果使他獲賭金為b,則他的期望為

7.2.2 概率理論的發展

隨機現象從個體上看，似乎並沒有什麼規律可言，但當它們大量出現的時候，在總體上就會呈現出某種規律，即大數規律.

伯努利大數定理(1713年):

若p是出現單獨一次事件的概率,q是不出現該事件的概率，則在n次試驗中該事件至少出現m次的概率，等於二項式(p+q)n的展開式中從pn項到包括pmqn-m為止的各項之和

棣莫弗―拉普拉斯定理。又稱為"中心極限定

理"

拉普拉斯(1812)明確表述了概率論的基本定

義和定理。給出了概率的古典定義，廣泛應用了分析工具處理概率的問題，將以往零散的研究成果系統化，並將概率論的研究方法從組合技巧發展到分析方法，使概率論研究進入了一個新的發展階段.

19世紀下半葉，俄國數學家切比雪夫

(1821~1894)與他的學生馬爾可夫(1856~1922)利用極限理論研究概率論，取得了突出的成就。建立了關於獨立隨機變數序列的大數定律，使貝努利和泊松的大數定律成為其特例。切比雪夫還將棣莫弗―拉普拉斯極限定理推廣為更一般的中心極限定理."馬爾可夫鏈"則是概率論中的重要理論

概率論在整個18與19世紀成了熱門學科,

7.2.3 概率論的公理化

貝特朗(法國,1899年)提出的概率論悖論，將矛頭直指概率論基本概念

20 世紀初，由勒貝格創立的測度論和積分論為概率的研究提供了新的手段

柯爾莫戈洛夫(前蘇聯,1933年)建立概率論的公理化體系

數理統計是通過樣本數據的分析預測整體狀態的數學理論與方法。該分支研究的數據帶有隨機性，因此，它與概率研究有著密切的聯繫

數理統計則起源於17至18世紀地質與生物進化統計的研究，在20世紀形成了用數學方法研究統計規律的專業分支，是形成較晚的數學分支

英國數學家，生物學家皮爾遜(1857~1936)

是使用數學方法系統研究生物統計的第一人。他潛心研究數據的分佈理論，並先後提出標準差，正態曲線，概率，相關等一系列數理統計學名詞和概念。致力於大樣本的研究，在第一次世界大戰期間，皮爾遜還用統計方法處理過大量的與戰爭有關的特殊計算.

英國數學家，化學家戈塞特(1876~1937)

他在釀酒公司擔任釀造化學技師期間，開創小樣本統計理論, 1908年，提出了t分佈函數,t檢驗，此舉成為統計推斷理論發展史上的里程碑.

美國數學家弗歇(1890~1962)

他是另一個數理統計的奠基人。他從事數理統計在農業科學和遺傳學中應用的研究。開創了試驗設計，方差分析，並確立了統計推斷的基本方法.20世紀30―50年代，弗歇成為數理統計學研究的中心人物並建立了自己的學派。他所研究的成果，實用價值卻很大。在他的手裡，數理統計學脫離生物計量學的範圍獲得獨立。他所提出的z分佈由他的學生改進后被稱為F分佈(用他的名字Fisher的第一個字母命名),現在廣泛使用的方差分析，實驗設計，參數估計

1928年原籍波蘭的美國數學家奈曼(1894~1981)和K・皮爾遜之子E・皮爾遜建立了嚴格的假設檢驗理論.

1946年瑞典數學家克拉梅爾出版了《統計數學方法》,這部書收集了半個多世紀以來的數理統計研究成果，它標誌著數理統計作為一門獨立的數學分支正式確立.

第二次世界大戰中，由於軍事的需要，數學家沃爾德(1902~1950)創立了"序貫分析法",許多數理分支，如參數估計，都受到這種理論的影響而得到發展.

1940年代之後，數理統計的學派開始多元化，美國逐漸成為又一個數理統計學的研究中心.