切比雪夫

帕夫努季·利沃維奇·切比雪夫出身於貴族家庭。他的祖輩中有許多人立過戰功。父親列夫·帕夫洛維奇·切比雪夫(ЛевПaвлович Чебышев)參加過抵抗拿破崙(Napoleon)入侵的衛國戰爭，母親阿格拉費娜·伊萬諾夫娜·切比雪娃(AгpaфеHaИвaновa Чебышевa)也出身名門，他們共生育了五男四女，切比雪夫排行第二。他的一個弟弟弗拉季米爾·利沃維奇·切比雪夫(Влaдимир Лbвович Чебb Iшев)後來成了炮兵將軍和彼得堡炮兵科學院的教授，在機械製造與微震動理論方面頗有建樹。

切比雪夫的左腳生來有殘疾，因而童年時代的他經常獨坐家中，養成了在孤寂中思索的習慣。他有一個富有同情心的表姐，當其餘的孩子們在莊園里嬉戲時，表姐就教他唱歌、讀法文和做算術。一直到臨終，切比雪夫都把這位表姐的像片珍藏在身邊。

1832年，切比雪夫全家遷往莫斯科。為了孩子們的教育，父母請了一位相當出色的家庭教師П. H. 波戈列日斯基(Погорелский)，他是當時莫斯科最有名的私人教師和幾本流行的初等數學教科書的作者。切比雪夫從家庭教師那裡學到了很多東西，並對數學產生了強烈的興趣。他對歐幾里得(Euclid)《幾何原本》(Elements)當中關於沒有最大素數的證明留下了極深刻的印象。

1837年，年方16歲的切比雪夫進入莫斯科大學，成為哲學系下屬的物理數學專業的學生。在大學階段，摩拉維亞出生的數學家H. Д. 布拉什曼 (Брaшмaн) 對他有較大的影響。1865年9月30日切比雪夫曾在莫斯科數學會上宣讀了一封信，信中把自己應用連分數理論於級數展開式的工作歸因於布拉什曼的啟發。在大學的最後一個學年，切比雪夫遞交了一篇題為“方程根的計算” (Вычисление корней урaвнений, 1841) 的論文，在其中提出了一種建立在反函數的級數展開式基礎之上的方程近似解法，因此獲得該年度系裡頒發的銀質獎章。

大學畢業之後，切比雪夫一面在莫斯科大學當助教，一面攻讀碩士學位。大約在此同時，他們家在卡盧加省的莊園因為災荒而破產了。切比雪夫不僅失去了父母方面的經濟支持，而且還要負擔兩個未成年的弟弟的部分教育費用。1843年，切比雪夫通過了碩士課程的考試，並在J. 劉維爾 (Liouville) 的《純粹與應用數學雜誌》(Journal des mathématiques pures et appliquées)上發表了一篇關於多重積分的文章。1844年，他又在L. 格列爾 (Grelle) 的同名雜誌 (Journal für die reine und angewandte Mathematik) 上發表了一篇討論泰勒級數收斂性的文章。1845年，他完成了碩士論文“試論概率論的基礎分析” (Опыт елементaрногоaнaлизa теории вероятностей, 1845) ，於次年夏天通過了答辯。

1846年，切比雪夫接受了彼得堡大學的助教職務，從此開始了在這所大學教書與研究的生涯。他的數學才幹很快就得到在這裡工作的B. Я. 布尼亞科夫斯基 (Буняковский) 和M. B. 奧斯特羅格拉茨基 (Острогрaдский) 這兩位數學前輩的賞識。1847年春天，在題為“關於用對數積分” (Об интегрировaнии с номошьюлогaрифмов, 1847) 的晉職報告中，切比雪夫徹底解決了奧斯特羅格拉茨基不久前才提出的一類代數無理函數的積分問題，他因此被提升為高等代數與數論講師。他在文章中提出的一個關於二項微分式積分的方法，今天可以在任何一本微積分教程之中找到。1849年5月27日，他的博士論文“論同餘式”(Теория срaвнений, 1849)在彼得堡大學通過了答辯，數天之後，他被告知榮獲彼得堡科學院的最高數學榮譽獎。切比雪夫於1850年升為副教授，1860年升為教授。1872年，在他到彼得堡大學任教25周年之際，學校授予他功勛教授的稱號。1882年，切比雪夫在彼得堡大學執教35年之後光榮退休。

35年間，切比雪夫教過數論、高等代數、積分運算、橢圓函數、有限差分、概率論、分析力學、傅里葉級數、函數逼近論、工程機械學等十餘門課程。他的講課深受學生們歡迎。A. M. 李雅普諾夫 (Ляпунов) 評論道：“他的課程是精練的，他不注重知識的數量，而是熱衷於向學生闡明一些最重要的觀念。他的講解是生動的、富有吸引力的，總是充滿了對問題和科學方法之重要意義的奇妙評論。”

1853年，切比雪夫被選為彼得堡科學院候補院士，同時兼任應用數學部主席。1856年成為副院士。1859年成為院士。切比雪夫曾先後六次出國考察或進行學術交流。他與法國數學界聯繫甚為密切，曾三次赴巴黎出席法國科學院的年會。他於1860年、1871年與1873年分別當選為法蘭西科學院、柏林皇家科學院的通訊院士與義大利波隆那科學院的院士，1877年、1880年、1893年分別成為倫敦皇家學會、義大利皇家科學院與瑞典皇家科學院的外籍成員。同時他也是全俄羅斯所有大學的榮譽成員、全俄中等教育改革委員會的成員和彼得堡炮兵科學院的榮譽院士。他還是彼得堡和莫斯科兩地數學會的熱心支持者。他發起召開的全俄自然科學家和醫生代表大會對於科學界之間的相互了解與科學在民眾中的影響起到了很大的作用。

切比雪夫是彼得堡數學學派的奠基人和領袖。

19世紀以前，俄國的數學是相當落後的。在彼得大帝去世那年建立起來的科學院中，早期數學方面的院士都是外國人，其中著名的有L．歐拉(Euler)、尼古拉·伯努利(Bernoulli，NikolausⅢ)、丹尼爾·伯努利(Bernoulli，Daniel)和C．哥德巴赫(Goldbach)等。俄羅斯沒有自己的數學家，沒有大學，甚至沒有一部象樣的初等數學教科書。19世紀上半葉，俄國才開始出現了像H．И．羅巴切夫斯基(Лобaчевский)、布尼亞科夫斯基和奧斯特羅格拉茨基這樣優秀的數學家；但是除了羅巴切夫斯基之外，他們中的大多數人都是在外國(特別是法國)接受訓練的，而且他們的成果在當時還不足以引起西歐同行們的充分重視。切比雪夫就是在這種歷史背景下從事他的數學創造的。他不僅是土生土長的學者，而且以他自己的卓越才能和獨特的魅力吸引了一批年輕的俄國數學家，形成了一個具有鮮明風格的數學學派，從而使俄羅斯數學擺脫了落後境地而開始走向世界前列。切比雪夫是彼得堡數學學派的奠基人和當之無愧的領袖。他在概率論、解析數論和函數逼近論領域的開創性工作從根本上改變了法國、德國等傳統數學大國的數學家們對俄國數學的看法。

切比雪夫是在概率論門庭冷落的年代從事這門學問的。他一開始就抓住了古典概率論中具有基本意義的問題，即那些“幾乎一定要發生的事件”的規律——大數定律。歷史上的第一個大數定律是由雅格布·伯努利(Bernoulli， Jacob I)提出來的，後來 S－D．B．泊松(Poisson)又提出了一個條件更寬的陳述，除此之外在這方面沒有什麼進展。相反，由於有些數學家過分強調概率論在倫理科學中的作用甚至企圖以此來闡明“隱蔽著的神的秩序”，又加上理論工具的不充分和古典概率定義自身的缺陷，當時歐洲一些正統的數學家往往把它排除在精密科學之外。

1845年，切比雪夫在其碩士論文中藉助十分初等的工具——ln(1+x)的麥克勞林展開式，對雅格布·伯努利大數定律作了精細的分析和嚴格的證明。一年之後，他又在格列爾的雜誌上發表了“概率論中基本定理的初步證明”(Démonstration èlèmentaired’une proposition génerale de la théorie des probabilités， 1846)一文，文中繼而給出了泊松形式的大數定律的證明。1866年，切比雪夫發表了“論平均數”(Oсредних величинaх，1866)，進一步討論了作為大數定律極限值的平均數問題。1887年，他發表了更為重要的“關於概率的兩個定理”(Oдвух теоремaх относительно вероятностей，1887)，開始對隨機變數和收斂到正態分佈的條件，即中心極限定理進行討論。

切比雪夫引出的一系列概念和研究題材為俄國以及後來蘇聯的數學家繼承和發展。A．A．馬爾科夫(Мaрков)對“矩方法”作了補充，圓滿地解決了隨機變數的和按正態收斂的條件問題。李雅普諾夫則發展了特徵函數方法，從而引起中心極限定理研究向現代化方向上的轉變。以20世紀30年代A．H．柯爾莫哥洛夫(Колмогоров)建立概率論的公理體系為標誌，蘇聯在這一領域取得了無可爭辯的領先地位。近代極限理論——無窮可分分佈律的研究也經C．H．伯恩斯坦(Бернштейн)、A．Я．辛欽(Хинчин)等人之手而臻於完善，成為切比雪夫所開拓的古典極限理論在20世紀抽枝發芽的繁茂大樹。關於切比雪夫在概率論中所引進的方法論變革的偉大意義，蘇聯著名數學家柯爾莫哥洛夫在“俄羅斯概率科學的發展”(Роль сусской нaуки в сaзвии теории вероятносгей，ИБИД，стр，53—64)一文中寫道：“從方法論的觀點來看，切比雪夫所帶來的根本變革的主要意義不在於他是第一個在極限理論中堅持絕對精確的數學家(A．棣莫弗(de Moivre)、P－S．拉普拉斯(Laplace)和泊松的證明與形式邏輯的背景是不協調的，他們不同於雅格布·伯努利，後者用詳盡的算術精確性證明了他的極限定理)，切比雪夫的工作的主要意義在於他總是渴望從極限規律中精確地估計任何次試驗中的可能偏差並以有效的不等式表達出來。此外，切比雪夫是清楚地預見到諸如‘隨機變數’及其‘期望(平均)值’等概念的價值，並將它們加以應用的第一個人。這些概念在他之前就有了，它們可以從‘事件’和‘概率’這樣的基本概念導出，但是隨機變數及其期望值是能夠帶來更合適與更靈活的演演算法的課題。”

切比雪夫對解析數論的研究集中在他初到彼得堡大學任教的頭四年內，當時他正擔任著高等代數與數論的講師，同時兼任歐拉選集數論部分的編輯；后一任命是布尼亞科夫斯基向彼得堡科學院推薦的。1849年，歐拉選集的數論部分(L． Euleri commenta-tiones arithmeticae collectae， 1849)在彼得堡正式出版了。切比雪夫為此付出了巨大的心血，同時他也從歐拉的著作中體會到了深邃的思想和靈活的技巧結合在一起的魅力，特別是歐拉所引入的ξ函數及用它對素數無窮這一古老命題所作的奇妙證明，吸引他進一步探索素數分佈的規律。

理論聯繫實際是切比雪夫科學工作的一個鮮明特點。他自幼就對機械有濃厚的興趣，在大學時曾選修過機械工程課。就在第一次出訪西歐之前，他還擔任著彼得堡大學應用知識系(准工程系)的講師。這次出訪歸來不久，他就被選為科學院應用數學部主席，這個位置直到他去世后才由李雅普諾夫接任。應用函數逼近論的理論與演演算法於機器設計，切比雪夫得到了許多有用的結果，它們包括直動機的理論、連續運動變為脈衝運動的理論、最簡平行四邊形法則、絞鏈槓桿體系成為機械的條件、三絞鏈四環節連桿的運動定理、離心控制器原理等等。他還親自設計與製造機器。據統計，他一生共設計了40餘種機器和80餘種這些機器的變種，其中有可以模仿動物行走的步行機，有可以自動變換船槳入水和出水角度的划船機，有可以度量大圓弧曲率並實際繪出大圓弧的曲線規，還有壓力機、篩分機、選種機、自動椅和不同類型的手搖計算機。他的許多新發明曾在1878年的巴黎博覽會和1893年的芝加哥博覽會上展出，一些展品至今仍被保存在蘇聯科學院數學研究所、莫斯科歷史博物館和巴黎藝術學院里。

1856年，切比雪夫被任命為炮兵委員會的成員，積極地參與了革新炮兵裝備和技術的工作。他於1867年提出的一個計算圓形炮彈射程的公式很快被彈道專家所採用，他關於插值理論的研究也部分地來源於分析彈著點數據的需要。他在彼得堡大學教授聯席會上作的“論地圖製法”(Черченйе геогрaфических кaрт，1856)的報告精闢地分析了數學理論與實踐結合的意義，這份報告也詳盡討論了如何減少投影誤差的問題。在法國科學院第七次年會上，切比雪夫提出了一篇名為“論服裝裁剪”(Sur la coupe des vte-ments，1878)的論文，其中提出的“切比雪夫網”成了曲面論中的一個重要概念。

切比雪夫終身未娶，日常生活十分簡樸，他的一點積蓄全部用來買書和製造機器。每逢假日，他也樂於同侄兒女們在一起輕鬆一下，但是他最大的樂趣是與年輕人討論數學問題。1894年11月底，他的腿疾突然加重，隨後思維也出現了障礙，但是病榻中的他仍然堅持要求研究生前來討論問題，這個學生就是後來成為俄國在代數領域中的開拓者的Д．A．格拉韋(Грaве)。1894年12月8日上午9時，這位令人尊敬的學者在自己的書桌前溘然長逝。他既無子女，又無金錢，但是他卻給人類留下了一筆不可估價的遺產——一個光榮的學派。

彼得堡數學學派是伴隨著切比雪夫幾十年的舌耕筆耘成長起來的。它深深地紮根在大學這塊沃土裡，它的成員們大都重視基礎理論和實際應用，善於以經典問題為突破口，並擅長運用初等工具建立高深的結果。19世紀下半葉，俄國數學主要是在切比雪夫的領導下，首先在概率論、解析數論和函數逼近論這三個領域實現了突破。科爾金、佐洛塔廖夫、Ю．B．索霍茨基(Сохоцкий)、K．A．波謝(Поссе)、馬爾科夫、李雅普諾夫、格拉韋、Г．Ф．伏羅諾伊(Вороной)、C．И．沙圖諾夫斯基(Шaтуновский)A．H．克雷洛夫(Крылов)、H．E．茹科夫斯基(Жуковский)、B．A．斯捷克洛夫(Стеклов)等人又在複變函數、微分方程、代數、群論、數的幾何學、函數構造、數學物理等領域大顯身手，使俄國數學在19世紀末大體跟上了世界先進的潮流，某些領域的優勢則一直保留到今日。

時至今日，俄羅斯已經是一個數學發達的國家，俄羅斯數學界的領袖們仍以自己被稱為切比雪夫和彼得堡學派的傳人而自豪。

切比雪夫在概率論、數學分析等領域有重要貢獻。在力學方面，他主要從事這些數學問題的應用研究。他在一系列專論中對最佳近似函數進行了解析研究，並把成果用來研究機構理論。他首次解決了直動機構（將旋轉運動轉化成直線運動的機構）的理論計算方法，並由此創立了機構和機器的理論，提出了有關傳動機械的結構公式。他還發明了約40餘種機械，製造了有名的步行機（能精確模仿動物走路動作的機器）和計算器，切比雪夫關於機構的兩篇著作是發表在1854年的《平行四邊形機構的理論》和1869年的 《論平行四邊形》。

切比雪夫濾波器，又名“車比雪夫濾波器”，是在通帶或阻帶上頻率響應幅度等波紋波動的濾波器。

切比雪夫濾波器來自切比雪夫分佈，以“切比雪夫”命名，是用以紀念切比雪夫（Пафнутий Львович Чебышёв）。

根據頻率響應曲線波動位置的不同，切比雪夫濾波器可以分為以下兩種：

在通帶（或稱“通頻帶”）上頻率響應幅度等波紋波動的濾波器稱為“I型切比雪夫濾波器”；

在阻帶（或稱“阻頻帶”）上頻率響應幅度等波紋波動的濾波器稱為“II型切比雪夫濾波器”。