算經十書

唐代國子監內設立算學館，置博士、助教指導學生學習數學，唐高宗顯慶元年（656），規定《周髀算經》、《九章算術》、《孫子算經》、《五曹算經》、《夏侯陽算經》、《張丘建算經》、《海島算經》、《五經算術》、《綴術》、《緝古算經》十部漢、唐一千多年間的十部著名數學著作作為國家最高學府的算學教科書，用以進行數學教育和考試，後世通稱為《算經十書》．

北宋雕板印刷術甚為發達，曾將十部算經刊刻發行(1084)，這是世界上最早的印刷本數學書。但此時《綴術》已經失傳，實際刊刻的只有九種。到南宋時期，又進行了一次翻刻（1 213），在這次南宋翻刻本中則是用《數術記遺》替代了已失傳的《綴術》。

在明代，由於不夠重視以及其他的社會原因，這十部算經幾乎失傳。直到清乾隆年間，由於《四庫全書》的編輯和乾嘉學派的興起，十部算經才被重新整理出版。當時發現流傳下來的南宋刻本（均系孤本）有《周髀》、《九章》（只有前五章，殘）、《孫子》、《五曹》、《夏侯陽》、《張丘建》等七種，其影抄本呈入清宮，收藏於北京故宮博物院。其後，除了《夏侯陽》一種又不知去向外，其餘六種南宋刻本經歷代藏書家收藏流傳至今，存於上海圖書館和北京大學圖書館。

清代學者戴震在參加編輯《四庫全書》時，又由明代《永樂大典》中抄出《周髀》、《九章》、《孫子》、《五曹》、《夏侯陽》、《海島》、《五經》等七種，由影宋抄本中抄出《張丘建》、《緝古》二種，《記遺》是由明刻本抄出，十部算經於是都被抄入《四庫全書》。由《永樂大典》中抄出的七種還曾用武英殿聚珍版刊印。

1773年孔繼涵以戴震的校訂本為主，將十部算經刻入《微波榭叢書》之中，題名為《算經十書》。這是《算經十書》名稱的首次出現。

因此,《算經十書》按狹義的理解，是專指孔刻《微波榭叢書》之一的書名；按廣義的理解，則是指上述漢唐千餘年間陸續出現的十部算書。通常都是按廣義來理解。

這十部算書，以《周髀算經》為最早，不知道它的作者是誰，據考證，它成書的年代當不晚於西漢後期（公元前一世紀）。《周髀算經》不僅是數學著作，更確切地說，它是講述當時的一派天文學學說——“蓋天說”的天文著作。就其中的數學內容來說，書中記載了用勾股定理來進行的天文計算，還有比較複雜的分數計算。當然不能說這兩項演演算法都是到公元前一世紀才為人們所掌握，它僅僅說明在已經知道的資料中，《周髀算經》是比較早的記載。

對古代中國數學的各個方面全面完整地進行敘述的是《九章算術》，它是十部算書中最重要的一部。它對以後古代數學發展所產生的影響，正像古希臘歐幾里得（約前330—前275）《幾何原本》對西方數學所產生的影響一樣，是非常深刻的。在中國，它在一千幾百年間被直接用作數學教育的教科書。它還影響到國外，朝鮮和日本也都曾拿它當作教科書。

《九章算術》，也不知道確實的作者是誰，只知道西漢早期的著名數學家張蒼（前201—前152）、耿壽昌等人都曾經對它進行過增訂刪補。《漢書·藝文志》中沒有《九章算術》的書名，但是有許商、杜忠二人所著的《算術》，因此有人推斷其中或者也含有許、杜二人的工作。1984年，湖北江陵張家山西漢早期古墓出土《算數書》書簡，推算成書當比《九章算術》早一個半世紀以上，內容和《九章算術》極相類似，有些算題和《九章算術》算題文句也基本相同，

可見兩書有某些繼承關係。可以說《九章算術》是在長時期里經過多次修改逐漸形成的，雖然其中的某些演演算法可能早在西漢之前就已經有了。正如書名所反映的，全書共分九章，一共搜集了二百四十六個數學問題，連同每個問題的解法，分為九大類，每類算是一章。

從數學成就上看，首先應該提到的是：書中記載了當時世界上最先進的分數四則運算和比例演演算法。書中還記載有解決各種面積和體積問題的演演算法以及利用勾股定理進行測量的各種問題。《九章算術》中最重要的成就是在代數方面，書中記載了開平方和開立方的方法，並且在這基礎上有了求解一般一元二次方程（首項係數不是負）的數值解法。還有整整一章是講述聯立一次方程解法的，這種解法實質上和中學里所講的方法是一致的。這要比歐洲同類演演算法早出一千五百多年。在同一章中，還在世界數學史上第一次記載了負數概念和正負數的加減法運演演算法則。

影響意義

《九章算術》不僅在中國數學史上佔有重要地位，它的影響還遠及國外。在歐洲中世紀，《九章算術》中的某些演演算法，例如分數和比例，就有可能先傳入印度再經阿拉伯傳入歐洲。再如“盈不足”（也可以算是一種一次內插法），在阿拉伯和歐洲早期的數學著作中，就被稱作“中國演演算法”。作為一部世界科學名著，《九章算術》已經被譯成許多種文字出版。

《孫子算經》

約成書於四、五世紀，作者生平和編寫年代都不清楚。傳本的《孫子算經》共三卷。卷上敘述算籌記數的縱橫相間制度和籌算乘除法則，卷中舉例說明籌算分數演演算法和 籌算開平方法。

《孫子算經》中國是世界上最早採用十進位值制記數的國家，春秋戰國之際已普遍應用的籌算，即嚴格遵循了十進位值制。關於算籌記數法僅見的資料載於《孫子算經》。《孫子算經》三卷，成書年代約為公元4世紀，該書上卷是關於籌演演算法則的系統介紹，下卷則有著名的“物不知數”題，亦稱“孫子問題”。卷下第31題，可謂是後世“雞兔同籠”題的始祖，後來傳到日本，變成“鶴龜算”。書中是這樣敘述的：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數，有35個頭；從下面數，有94隻腳。求籠中各有幾隻雞和兔？

具有重大意義的是卷下第26題：“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？答曰：『二十三』”。《孫子算經》不但提供了答案，而且還給出了解法。南宋大數學家秦九韶則進一步開創了對一次同餘式理論的研究工作，推廣“物不知數”的問題。德國數學家高斯﹝K.F. Gauss.公元1777-1855年﹞於公元1801年出版的《算術探究》中明確地寫出了上述定理。公元1852年，英國基督教士偉烈亞士﹝Alexander Wylie公元1815-1887年﹞將《孫子算經》“物不知數”問題的解法傳到歐洲，公元1874年馬蒂生﹝L.Mathiesen﹞指出孫子的解法符合高斯的定理，從而在西方的數學史里將這一個定理稱為“中國的剩餘定理”﹝Chinese remainder theorem﹞。

《五曹算經》是一部為地方行政人員所寫的應用算術書（作者不可詳，有的認為其作者是甄鸞），全書分為田曹、兵曹、集曹、倉曹、金曹等五個項目，所以稱為“五曹”算 經。所講問題的解法都淺顯易懂，數字計算都儘可能地避免分數。全書共收67個問題。它的著者和年代都沒有記載。歐陽修《新唐書》卷五十九《藝文志》有：「甄鸞《五曹算經》五卷」其它各書也有類似的記載。甄鸞是公元535-566年前後的人。

《五曹算經》此系南宋刊本《五曹算經》卷首書影，刻於南宋嘉定五年（一二一二年）。《五曹算經》是我國的一部數學古籍，作者是北周的甄鸞（字叔遵，河北無極人），他通曉天文曆法，曾任司隸大夫、漢中郡守等職務。唐李淳風等曾為之作注。

夏侯陽算經，算經十書之一。原書已失傳無考。北宋元豐九年（1084年）所刻《夏侯陽算經》是唐中葉的一部算書。引用當時流傳的乘除捷法，解答日常生活中的應用問題，保存了很多數學史料。

《張邱建算經》的作者是張邱建（南宋刊算經為《張丘建算經》，因避諱孔子，后改為《張邱建算經》），大約作於5世紀後期，裡面有對最大公約數、最小公倍數的應用問題，還有等差級數問題，最著名的是提出了不定方程組 —— 百雞問題，但是沒有具體說明其解法。《夏侯陽算經》估計是北魏時代的作品。裡面概括地敘述了乘除速演演算法則、分數法則，解釋了”法除” 、 “步除” 、 “約除” 、 “開平方” 、 “方立”等法則，另外推廣了十進小數的應用，全與表示法不同，計算結果有奇零時借用分、厘、毫、絲等長度單位名稱表示文以下的十進小數。 「百雞問題」是《張邱建算經》中的一個著名數學問題，它給出了由三個未知量的兩個方程組成的不定方程組的解。百雞問題是：「今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一。凡百錢買雞百隻，問雞翁母雛各幾何。」依題意即解

自張邱建以後，中國數學家對百雞問題的研究不斷深入，百雞問題也幾乎成了不定方程的代名詞，從宋代到清代圍繞百雞問題的數學研究取得了很好的成就。

《海島算經》是三國時期劉徽（約225—約295）所作。這部書中講述的都是利用標桿進行兩次、三次、最複雜的是四次測量來解決各種測量數學的問題。這些測量數學，正是中國古代非常先進的地圖學的數學基礎。此外，劉徽對《九章算術》所作的註釋工作也是很有名的。一般地說，可以把這些註釋看成是《九章算術》中若干演演算法的數學證明。劉徽注中的“割圓術”開創了中國古代圓周率計算方面的重要方法（參見本書第98頁），他還首次把極限概念應用於解決數學問題。

王孝通撰《緝古算經》。唐武德八年（625）五月，王孝通撰《緝古 算經》在長安成書，這是中國現存最早解三次方程的著作。

唐代立於學官的十部算經中，王孝通《緝古算經》是唯一的一部由唐代學者撰寫的。王孝通主要活動於六世紀末和七世紀初。他出身於平民，少年時期便開始潛心鑽研數學，隋朝時以歷算入仕，入唐后被留用，唐朝初年做過算學博士（亦稱算曆博士），后升任通直郎、太史丞。畢生從事數學和天文工作。唐武德六年（623），因行用的傅仁均《戊寅元歷》推算日月食與實際天象不合，與吏部郎中祖孝孫受命研究傅仁均歷存在的問題，武德九年（626）又與大理卿崔善為奉詔校勘傅仁均歷，駁正術錯三十餘處，並付太史施行。王孝通所著《緝古算術》，被用作國子監算學館數學教材，奉為數學經典，故後人稱為《緝古算經》。全書一卷（新、舊《唐書》稱四卷，但由於一卷的題數與王孝通自述相符，因此可能在卷次分法上有所不同）共二十題。第一題為推求月球赤緯度數，屬於天文曆法方面的計算問題，第二題至十四題是修造觀象台、修築堤壩、開挖溝渠，以及建造倉廩和地窖等土木工程和水利工程的施工計算問題，第十五至二十題是勾股問題。這些問題反映了當時開鑿運河、修築長城和大規模城市建設等土木和水利工程施工計算的實際需要。

北周甄鸞所著，共二卷。書中對《易經》、 《詩經》、《尚書》、 《周禮》、《儀禮》、《禮記》、《論語》、《左傳》等儒家經典及其古注中與數字有關的地方詳加註釋，對研究經學的人或可有一定的幫助，但就數學的內容而論，其價值有限。現傳本亦系抄自《永樂大典》。

徐岳(？——220）的《數術記遺》，《數術記遺》以與劉洪問答的形式，介紹了14種計算方法，“未滿百言，而骨削質奧，思緯淹通，依然東京風骨。”也就是在這部書中，徐岳在中國也 是在世界歷史上第一次記載算盤的樣式，並第一次珠算定名，在世界珠算史上寫下了光輝的一頁。其中著錄了十四種古演演算法。第一種叫"積算"，就是當時通用的籌算。還有太乙算、兩儀算、三才算、五行算、八卦算、九宮算、運籌算、了知算、成數算、把頭算、龜算、珠算、計數。"《數術記遺》仲介紹的一種心算方法。原文說：’既舍數術，宜從心計。’注中說:’言舍數術者，謂不用算籌，當以意計之。’這說明計算時不用珠、籌、針等工具，只用心算完成。但從注中所舉各例來看，此處"計算"，與現代對心算的理解，又有不同之處。現在的心算，指在數字運算時，不用計算工具，只用意念完成。而"計數"的範圍頗廣，在測量及其它方面，不但不用計算工具，而且想出巧妙辦法，不通過數字運算，直接可得所要求的數字結果。"

《綴術》是南北朝時期著名數學家祖沖之的著作。很可惜，這部 書在唐宋之際公元十世紀前後失傳了。宋人刊刻《算經十書》的時候就用當時找到的另一部算書《數術記遺》來充數。祖沖之的著名工作——關於圓周率的計算（精確到第七位小數），記載在《隋書·律曆志》中。

《算經十書》的其餘幾部書也記載有一些具有世界意義的成就。例如《孫子算經》中的“物不知數”問題（一次同餘式解法，參見本書第106頁），《張丘建算經》中的“百雞問題”（不定方程問題）等等都比較著名。而《緝古算經》中的三次方程解法，特別是其中所講述的用幾何方法列三次方程的方法，也是很具特色的。

《算經十書》中用過的數學名詞，如分子、分母、開平方、開立方、正、負、方程等等，都一直沿用到今天，有的已有近兩千年的歷史了。

《算經十書》較完備地體現了古代中國數學各方面的內容。其中大多數還曾傳入朝鮮和日本，成了他們進行數學教育和考試的教科書。