極限思想
近代數學的重要思想之一
所謂極限的思想，是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數學思想。用極限思想解決問題的一般步驟可概括為：對於被考察的未知量，先設法構思一個與它有關的變數，確認這變數通過無限過程的結果就是所求的未知量；最後用極限計算來得到這結果。
極限思想是微積分的基本思想，數學分析中的一系列重要概念，如函數的連續性、導數以及定積分等等都是藉助於極限來定義的。如果要問：“數學分析是一門什麼學科?”那麼可以概括地說：“數學分析就是用極限思想來研究函數的一門學科”。
與一切科學的思想方法一樣，極限思想也是社會實踐的產物。極限的思想可以追溯到古代，劉徽的割圓術就是建立在直觀基礎上的一種原始的極限思想的應用；古希臘人的窮竭法也蘊含了極限思想，但由於希臘人“對無限的恐懼”，他們避免明顯地“取極限”，而是藉助於間接證法——歸謬法來完成了有關的證明。
到了16世紀，荷蘭數學家斯泰文在考察三角形重心的過程中改進了古希臘人的窮竭法，他藉助幾何直觀，大膽地運用極限思想思考問題，放棄了歸繆法的證明。如此，他就在無意中“指出了把極限方法發展成為一個實用概念的方向”。
極限思想的進一步發展是與微積分的建立緊密相聯繫的。16世紀的歐洲處於資本主義萌芽時期，生產力得到極大的發展，生產和技術中大量的問題，只用初等數學的方法已無法解決，要求數學突破只研究常量的傳統範圍，而提供能夠用以描述和研究運動、變化過程的新工具，這是促進極限發展、建立微積分的社會背景。
起初牛頓和萊布尼茨以無窮小概念為基礎建立微積分，後來因遇到了邏輯困難，所以在他們的晚期都不同程度地接受了極限思想。牛頓用路程的改變數與時間的改變數之比表示運動物體的平均速度，讓無限趨近於零，得到物體的瞬時速度，並由此引出導數概念和微分學理論。他意識到極限概念的重要性，試圖以極限概念作為微積分的基礎，他說：“兩個量和量之比，如果在有限時間內不斷趨於相等，且在這一時間終止前互相靠近，使得其差小於任意給定的差，則最終就成為相等”。但牛頓的極限觀念也是建立在幾何直觀上的，因而他無法得出極限的嚴格表述。牛頓所運用的極限概念，只是接近於下列直觀性的語言描述：“如果當n無限增大時，無限地接近於常數，那麼就說以為極限”。
這種描述性語言，人們容易接受，現代一些初等的微積分讀物中還經常採用這種定義。但是，這種定義沒有定量地給出兩個“無限過程”之間的聯繫，不能作為科學論證的邏輯基礎。
正因為當時缺乏嚴格的極限定義，微積分理論才受到人們的懷疑與攻擊，例如，在瞬時速度概念中，究竟Δt是否等於零？如果說是零，怎麼能用它去作除法呢？如果它不是零，又怎麼能把包含著它的那些項去掉呢？這就是數學史上所說的無窮小悖論。英國哲學家、大主教貝克萊對微積分的攻擊最為激烈，他說微積分的推導是“分明的詭辯”。
貝克萊之所以激烈地攻擊微積分，一方面是為宗教服務，另一方面也由於當時的微積分缺乏牢固的理論基礎，連牛頓自己也無法擺脫極限概念中的混亂。這個事實表明，弄清極限概念，建立嚴格的微積分理論基礎，不但是數學本身所需要的，而且有著認識論上的重大意義。
在很長一段時間裡，微積分理論基礎的問題，許多人都曾嘗試解決，但都未能如願以償。這是因為數學的研究對象已從常量擴展到變數，而人們對變數數學特有的規律還不十分清楚；對變數數學和常量數學的區別和聯繫還缺乏了解；對有限和無限的對立統一關係還不明確。這樣，人們使用習慣了的處理常量數學的傳統思想方法，就不能適應變數數學的新需要，僅用舊的概念說明不了這種“零”與“非零”相互轉化的辯證關係。
到了18世紀，羅賓斯、達朗貝爾與羅依里埃等人先後明確地表示必須將極限作為微積分的基礎概念，並且都對極限作出過各自的定義。其中達朗貝爾的定義是：“一個量是另一個量的極限，假如第二個量比任意給定的值更為接近第一個量”，它接近於極限的正確定義；然而，這些人的定義都無法擺脫對幾何直觀的依賴。事情也只能如此，因為19世紀以前的算術和幾何概念大部分都是建立在幾何量的概念上面的。
到了19世紀，法國數學家柯西在前人工作的基礎上，比較完整地闡述了極限概念及其理論，他在《分析教程》中指出：“當一個變數逐次所取的值無限趨於一個定值，最終使變數的值和該定值之差要多小就多小，這個定值就叫做所有其他值的極限值，特別地，當一個變數的數值（絕對值）無限地減小使之收斂到極限0，就說這個變數成為無窮小”。
柯西把無窮小視為以0為極限的變數，這就澄清了無窮小“似零非零”的模糊認識，這就是說，在變化過程中，它的值可以是非零，但它變化的趨向是“零”，可以無限地接近於零。
柯西試圖消除極限概念中的幾何直觀，作出極限的明確定義，然後去完成牛頓的願望。但柯西的敘述中還存在描述性的詞語，如“無限趨近”、“要多小就多小”等，因此還保留著幾何和物理的直觀痕迹，沒有達到徹底嚴密化的程度。
為了排除極限概念中的直觀痕迹，維爾斯特拉斯提出了極限的靜態的定義，給微積分提供了嚴格的理論基礎。所謂 ，就是指：“如果對任何，總存在自然數，使得當時，不等式恆成立”。
這個定義，藉助不等式，通過ε和N之間的關係，定量地、具體地刻劃了兩個“無限過程”之間的聯繫。因此，這樣的定義是嚴格的，可以作為科學論證的基礎，至今仍在數學分析書籍中使用。在該定義中，涉及到的僅僅是數及其大小關係，此外只是給定、存在、任取等詞語，已經擺脫了“趨近”一詞，不再求助於運動的直觀。
眾所周知，常量數學靜態地研究數學對象，自從解析幾何和微積分問世以後，運動進入了數學，人們有可能對物理過程進行動態研究。之後，維爾斯特拉斯建立的語言，則用靜態的定義刻劃變數的變化趨勢。這種“靜態——動態——靜態”的螺旋式的演變，反映了數學發展的辯證規律。
極限思想揭示了變數與常量、無限與有限的對立統一關係，是唯物辯證法的對立統一規律在數學領域中的應用。藉助極限思想，人們可以從有限認識無限，從“不變”認識“變”，從直線形認識曲線形，從量變認識質變，從近似認識精確。
無限與有限有本質的不同，但二者又有聯繫，無限是有限的發展。無限個數的和不是一般的代數和，把它定義為“部分和”的極限，就是藉助於極限的思想方法，從有限來認識無限的。
“變”與“不變”反映了事物運動變化與相對靜止兩種不同狀態，但它們在一定條件下又可相互轉化，這種轉化是“數學科學的有力槓桿之一”。例如，要求變速直線運動的瞬時速度，用初等方法是無法解決的，困難在於速度是變數。為此，人們先在小範圍內用勻速代替變速，並求其平均速度，把瞬時速度定義為平均速度的極限。
曲線形與直線形有著本質的差異，但在一定條件下也可相互轉化，正如恩格斯所說：“直線和曲線在微分中終於等同起來了”。善於利用這種對立統一關係是處理數學問題的重要手段之一。直線形的面積容易求得，求曲線形的面積問題用初等的方法是不能解決的。劉徽的割圓術就是從直線形來認識曲線形的典型例子。
量變和質變既有區別又有聯繫，兩者之間有著辯證的關係。量變能引起質變，質和量的互變規律是辯證法的基本規律之一，在數學研究工作中起著重要作用。對任何一個圓內接正多邊形來說，當它邊數加倍后，得到的還是內接正多邊形，是量變而不是質變；但是，不斷地讓邊數加倍，經過無限過程之後，多邊形就“變”成圓，多邊形面積便轉化為圓面積。
近似與精確是對立統一關係，兩者在一定條件下也可相互轉化，這種轉化是數學應用於實際計算的重要訣竅。前面所講到的“部分和”、“平均速度”、“圓內接正多邊形面積”，分別是相應的“無窮級數和”、“瞬時速度”、“圓面積”的近似值，取極限后就可得到相應的精確值。
設函數在點的某一去心鄰域內有定義，如果存在常數，對於任意給定的正數（無論它多麼小），總存在正數 ，使得當滿足不等式時，對應的函數值都滿足不等式：
那麼常數就叫做函數當時的極限。
極限的思想方法貫穿於數學分析課程的始終。可以說數學分析中的幾乎所有的概念都離不開極限。在幾乎所有的數學分析著作中，都是先介紹函數理論和極限的思想方法，然後利用極限的思想方法給出連續函數、導數、定積分、級數的斂散性、多元函數的偏導數，廣義積分的斂散性、重積分和曲線積分與曲面積分的概念。如：
（2）函數在 點導數的定義，是函數值的增量 與自變數的增量 之比，當 時的極限。
（3）函數在 上的定積分的定義，是當分割的細度趨於零時，積分和式 的極限。
（4）數項級數的斂散性是用部分和數列的極限來定義的。
（5）廣義積分是定積分 其中 為任意大於 的實數）當 時的極限，等等。
極限思想方法是數學分析乃至全部高等數學必不可少的一種重要方法，也是數學分析與初等數學的本質區別之處。數學分析之所以能解決許多初等數學無法解決的問題（例如求瞬時速度、曲線弧長、曲邊形面積、曲面體體積等問題），正是由於它採用了極限的思想方法。
有時我們要確定某一個量，首先確定的不是這個量的本身而是它的近似值，而且所確定的近似值也不僅僅是一個而是一連串越來越準確的近似值；然後通過考察這一連串近似值的趨向，把那個量的準確值確定下來。這就是運用了極限的思想方法。
1、根據極限思想，我們可以證明得到
2、因為0.9循環 0.8循環=0.1循環，所以等式兩邊同時去掉“0”與“.”後有9循環 8循環=1循環。
我們把9循環，8循環和1循環稱為循環整數。
我們知道在任何時候0.9循環等於0.9循環，不可能你在做一道題時你前一分鐘使用的0.9循環比后一分鐘使用 的0.9循環小，有0.9循環的小數位循環與時間沒有關係。
循環小數是常數，循環整數是以循環小數為基礎得來的，決定了循環整數也是常數，且循環整數不是無窮大的數，因為無窮大是變數，而常數在數軸上有對應的固定點，如果循環整數不是常數，就會反推出循環小數也不是常數，顯然循環小數是常數，有循環整數也是常數。
可得9循環的整數位循環與時間沒有關係且9循環的整數位個數等於0.9循環的小數位個數。
設循環/0.9循環，有循環=1，得到循環循環。
因為9循環和0.9循環都為大於0的常數，所以Q大於0，且Q為常數。
得到：循環，且為常數。
找到了大於0.999...而小於1的常數，如循環<1。
綜上，循環整數的引入，導致，與極限思想的存在不同的結果。
