平面解析幾何

平面解析幾何

用代數方法研究幾何圖形的幾何性質,體現著數形結合的重要數學思想。在平面解析幾何的教學過程中,教師應幫助學生將幾何問題代數化,用代數的語言描述幾何要素及其關係,進而將幾何問題化為代數問題,處理代數問題;分析代數結果的幾何含義,最終解決幾何問題。這種思想要貫穿平面解析幾何教學的始終,幫助學生體會“數形結合”的思想方法。

平面解析幾何


平面解析幾何包含以下幾部分

一 直角坐標


1.1 有向線段
1.2 直線上的點的直角坐標
1.3 幾個基本公式
1.4 平面上的點的直角坐標
1.5 射影的基本原理
1.6 幾個基本公式

二 曲線與方程


2.1 曲線的直角坐標方程的定義
2.2 已知曲線,求它的方程
2.3 已知曲線的方程,描繪曲線
2.4 曲線的交點

三 直線


3.1 直線的傾斜角和斜率
3.2 直線的方程
Y=kx+b
3.3 直線到點的有向距離
3.4 二元一次不等式表示的平面區域
3.5 兩條直線的相關位置
3.6 二元二方程表示兩條直線的條件
3.7 三條直線的相關位置
3.8 直線系

四 圓


4.1 圓的定義
4.2 圓的方程
4.3 點和圓的相關位置
4.4 圓的切線
4.5 點關於圓的切點弦與極線
4.6 共軸圓系
4.7 平面上的反演變換
圓的基本知識
圓的定義
幾何說:平面上到定點的距離等於定長的所有點組成的圖形叫做圓。定點稱為圓心,定長稱為半徑。
軌跡說:平面上一動點以一定點為中心,一定長為距離運動一周的軌跡稱為圓周,簡稱圓。
集合說:到定點的距離等於定長的點的集合叫做圓。
概括
把一個圓按一條直線對摺過去,並且完全重合,展開再換個方向對摺,折出后,這些摺痕相交的一個點,叫做圓心,用字母O表示。連接圓心和圓上的任意一點的線段叫做半徑,用字母r表示。通過圓心並且兩端都在圓上的線段叫做直徑,用字母d表示。圓心決定圓的位置,半徑和直徑決定圓的大小。在同一個圓或等圓中,半徑都相等,直徑也都相等,直徑是半徑的2倍,半徑是直徑的。
用字母表示是:
圓的相關量
圓周率:圓周長度與圓的直徑長度的比值叫做圓周率,它是一個無限不循環的小數通常用π表示,,在實際應用中我們只取它的近似值,即(在奧數中一般π只取3、3.1416或3.14159)
圓弧和弦:圓上任意兩點間的部分叫做圓弧,簡稱弧(arc)。大於半圓的弧稱為優弧,小於半圓的弧稱為劣弧。連接圓上任意兩點的線段叫做弦(chord)。圓中最長的弦為直徑(diameter)。
圓心角圓周角:頂點在圓心上的角叫做圓心角。頂點在圓周上,且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角。
內心和外心:和三角形三邊都相切的圓叫做這個三角形的內切圓,其圓心稱為內心。過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓,其圓心叫做三角形的外心。
扇形:在圓上,由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。圓錐側面展開圖是一個扇形。這個扇形的半徑稱為圓錐的母線。
【圓和圓的相關量字母表示方法】
圓—⊙ 半徑—r或R(在環形圓中外環半徑表示的字母)弧—⌒ 直徑—d
扇形弧長/圓錐母線—l 周長—C 面積—S
圓和其他圖形的位置關係
圓和點的位置關係:以點P與圓O的為例(設P是一點,則PO是點到圓心的距離),P在⊙O外,;P在⊙O上,;P在⊙O內,
直線與圓有3種位置關係:無公共點為相離;有兩個公共點為相交,這條直線叫做圓的割線;圓與直線有唯一公共點為相切,這條直線叫做圓的切線,這個唯一的公共點叫做切點。以直線AB與圓O為例(設於P,則PO是AB到圓心的距離):AB與⊙O相離,;AB與⊙O相切,;AB與⊙O相交,
兩圓之間有5種位置關係:無公共點的,一圓在另一圓之外叫外離,在之內叫內含;有唯一公共點的,一圓在另一圓之外叫外切,在之內叫內切;有兩個公共點的叫相交。兩圓圓心之間的距離叫做圓心距。兩圓的半徑分別為R和r,且,圓心距為P:外離;外切;相交圓的對稱性質:圓是軸對稱圖形,其對稱軸是任意一條通過圓心的直線。圓也是中心對稱圖形,其對稱中心是圓心。垂徑定理:垂直於弦的直徑平分這條弦,並且平分弦所對的2條弧。逆定理:平分弦(不是直徑)的直徑垂直於弦,並且平分弦所對的2條弧。
⑵有關圓周角和圓心角的性質和定理 在同圓或等圓中,如果兩個圓心角,兩個圓周角,兩組弧,兩條弦,兩條弦心距中有一組量相等,那麼他們所對應的其餘各組量都分別相等。一條弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半。直徑所對的圓周角是直角。90度的圓周角所對的弦是直徑。如果一條弧的長是另一條弧的2倍,那麼其所對的圓周角和圓心角是另一條弧的2倍。
⑶有關外接圓和內切圓的性質和定理
①一個三角形有唯一確定的外接圓和內切圓。外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點,到三角形三個頂點距離相等;
②內切圓的圓心是三角形各內角平分線的交點,到三角形三邊距離相等。
③(R:內切圓半徑,S:三角形面積,L:三角形周長)
④兩相切圓的連心線過切點(連心線:兩個圓心相連的直線)
⑤圓O中的弦PQ的中點M,過點M任作兩弦AB,CD,弦AD與BC分別交PQ於X,Y,則M為XY之中點。
(4)如果兩圓相交,那麼連接兩圓圓心的線段(直線也可)垂直平分公共弦。
(5)圓心角的度數等於它所對的弧的度數。
(6)圓周角的度數等於它所對的弧的度數的一半。
(7)弦切角的度數等於它所夾的弧的度數的一半。
(8)圓內角的度數等於這個角所對的弧的度數之和的一半。
(9)圓外角的度數等於這個角所截兩段弧的度數之差的一半。
有關切線的性質和定理
圓的切線垂直於過切點的半徑;經過半徑的一端,並且垂直於這條半徑的直線,是這個圓的切線。
切線的判定方法:經過半徑外端並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線。
切線的性質:(1)經過切點垂直於過切點的半徑的直線是圓的切線。(2)經過切點垂直於切線的直線必經過圓心。(3)圓的切線垂直於經過切點的半徑。
切線長定理:從圓外一點到圓的兩條切線的長相等,那點與圓心的連線平分切線的夾角。
〖有關圓的計算公式〗
1.圓的周長 2.圓的面積; 3.扇形弧長
4.扇形面積(l為扇形的弧長)5.圓錐側面積 6.圓錐側面展開圖(扇形)的圓心角(r是底面半徑,l是母線長)
切割線定理 圓的一條切線與一條割線相交於p點,切線交圓於C點,割線交圓於A B兩點,則有
割線定理 與切割線定理相似 兩條割線交於p點,割線m交圓於兩點,割線n交圓於兩點
圓的解析幾何性質和定理
圓的解析幾何方程
圓的標準方程:在平面直角坐標系中,以點為圓心,以r為半徑的圓的標準方程是。
圓的一般方程:把圓的標準方程展開,移項,合併同類項后,可得圓的一般方程是(其中)。其中和標準方程對比,其實。該圓圓心坐標為,半徑。
圓的參數方程:以點為圓心,以r為半徑的圓的參數方程是 , (其中θ為參數)
圓的端點式:若已知兩點,則以線段AB為直徑的圓的方程為
圓的離心率,在圓上任意一點的曲率半徑都是r。
經過圓 上一點的切線方程為
在圓外一點引該圓的兩條切線,且兩切點為A,B,則A,B兩點所在直線的方程也為
圓與直線的位置關係判斷
平面內,直線的位置關係判斷一般方法是:
1.由,可得,(其中B不等於0),代入,即成為一個關於x的一元二次方程。利用判別式的符號可確定圓與直線的位置關係如下:
如果,則圓與直線有2交點,即圓與直線相交。
如果,則圓與直線有1交點,即圓與直線相切。
如果,則圓與直線有0交點,即圓與直線相離。
2.如果即直線為,它平行於y軸(或垂直於x軸),將化為。令,求出此時的兩個x值,並且規定
當時,直線與圓相離;
半徑r,直徑d
在直角坐標系中,圓的解析式為:
圓心坐標為
其實只要保證X方Y方前係數都是1
就可以直接判斷出圓心坐標為
這可以作為一個結論運用的
且(圓心坐標的平方和-F)
圓知識點總結
定義:(1)平面上到定點的距離等於定長的所有點組成的圖形叫做圓。
(2)平面上一條線段,繞它的一端旋轉360°,留下的軌跡叫圓。
圓心:(1)如定義(1)中,該定點為圓心
(2)如定義(2)中,繞的那一端的端點為圓心。
(3)圓任意兩條對稱軸的交點為圓心。
(4)垂直於圓內任意一條弦且兩個端點在圓上的線段的二分點為圓心。
註:圓心一般用字母O表示
直徑:通過圓心,並且兩端都在圓上的線段叫做圓的直徑。直徑一般用字母d表示。
半徑:連接圓心和圓上任意一點的線段,叫做圓的半徑。半徑一般用字母r表示。
圓的直徑和半徑都有無數條。圓是軸對稱圖形,每條直徑所在的直線是圓的對稱軸。在同圓或等圓中:直徑是半徑的2倍,半徑是直徑的二分之一。
圓的半徑或直徑決定圓的大小,圓心決定圓的位置。
圓的周長:圍成圓的曲線的長度叫做圓的周長,用字母C表示。
圓的周長與直徑的比值叫做圓周率。
圓的周長除以直徑的商是一個固定的數,把它叫做圓周率,它是一個無限不循環小數無理數),用字母π表示。計算時,通常取它的近似值,。
直徑所對的圓周角是直角。90°的圓周角所對的弦是直徑。
圓的面積公式:圓所佔平面的大小叫做圓的面積。,用字母S表示。
一條弧所對的圓周角是圓心角的二分之一。
在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等,所對的弦相等,所對的弦心距也相等。
在同圓或等圓中,如果兩條弧相等,那麼他們所對的圓心角相等,所對的弦相等,所對的弦心距也相等。
周長計算公式
1.、已知直徑:
2、已知半徑:
3、已知周長:
4、圓周長的一半:周長(曲線)
5、半圓的周長:周長+直徑
面積計算公式:
1、已知半徑:
2、已知直徑:;
3、已知周長:;

五 橢圓


5.1 橢圓的定義
平面內與兩個定點的距離之和等於常數(大於)的點的軌跡叫做橢圓,這兩個定點叫做橢圓的焦點,兩焦點間的距離叫做焦距.
第二定義:
5.2 用平面截 直圓錐面可以得到橢圓
5.3 橢圓的標準方程
5.4 橢圓的基本性質及有關概念
5.5 點和橢圓的相關位置
5.6 橢圓的切線與法線
5.7 點關於橢圓的切點弦與極線
5.8 橢圓的面積

六 雙曲線


6.1 雙曲線的定義
6.2 用平面截直圓錐面可以得到雙曲線
6.3 雙曲線的標準方程
6.4 雙曲線的基本性質及有關概念
6.5 等軸雙曲線
6.6 共軛雙曲線
6.7 點和雙曲線的相關位置
6.8 雙曲線的切線與法線
6.9 點關於雙曲線的切點弦與極線

七 拋物線


7.1 拋物線的定義
7.2 用平面截直圓錐面可以得到拋物線
7.3 拋物線的標準方程
7.4 拋物線的基本性質及有關概念
7.5 點和拋物線的相關位置
7.6 拋物線的切線與法線
7.7 點關於拋物線的切點弦與極線
7.8 拋物線弓形的面積

八 坐標變換·二次曲線的一般理論


8.1 坐標變換的概念
8.2 坐標軸的平移
8.3 利用平移化簡 曲線方程
8.4 圓錐曲線的更一般的標準方程
8.5 坐標軸的旋轉
8.6 坐標變換的一般公式
8.7 曲線的分類
8.8 二次曲線在直角坐標變換下的不變數
8.9 二元二次方程的曲線
8.10 二次曲線方程的化簡
8.11 確定一條二次曲線的條件
8.12 二次曲線系

九 參數方程


定義

在給定的 平面直角坐標系中,如果曲線上任意一點的坐標x,y都是某個變數t的函數——(1);且對於t的每一個允許值,由方程組(1)所確定的點都在這條曲線上,那麼方程組(1)稱為這條曲線的參數方程,聯繫x、y之間關係的變數稱為參變數,簡稱參數。類似地,也有曲線的 極坐標參數方程(2)
圓的參數方程 (θ屬於 ) 為圓心坐標 r為圓半徑 θ為參數為經過點的坐標
橢圓的參數方程 (θ屬於[0,2π) ) a為長半軸 長 b為短半軸長 θ為參數
雙曲線的參數方程 a為實半軸長 b為虛半軸長 θ為參數
拋物線的參數方程 p表示焦點到準線的距離 t為參數
直線的參數方程, x', y'和a表示直線經過,且傾斜角為a,t為參數.
或者 (t屬於R) x', y'直線經過定點,u,v表示直線的方向 向量

應用

柯西中值定理的證明中,也運用到了參數方程。柯西中值定理 如果函數f(x)及F(x)滿足: (1)在閉 區間上連續; (2)在開區間內可導; (3)對任一,那麼在內至少有一點ζ,使等式 成立。柯西簡潔而嚴格地證明了微積分學基本定理即牛頓-萊布尼茨公式。他利用定積分嚴格證明了帶余項的泰勒公式,還用微分與 積分中值定理表示曲邊梯形的面積,推導了平面曲線之間圖形的面積、曲面面積和立體體積的公式。