微積分

作者：蕭樹鐵

普通高等教育“十一五”國家級規劃教材

ISBN：9787302172093定價：17元

印次：1-6

裝幀：平裝

印刷日期：2013-5-29

全書分上、下兩冊。上冊包括函數、函數的極限、函數的導數、微分與不定積分、定積分、空間解析幾何6章內容和一個附錄，附錄包括初等代數中的幾個問題、平面解析幾何、集合與邏輯符號等內容。書中每節都配有適量的習題，每章配有部分具有一定難度的複習題，書末對大部分題目都給出了答案或提示.

本書結構嚴謹、例題與插圖豐富、敘述直觀清晰、通俗易懂，可供普通高等院校非數學專業的學生使用.

本書自2006年出版以來已連續印刷了4次。同時收到不少的意見和建議.

最近在北京、南京、廣州等地召開的有關普通高等院校微積分教學的研討會上，也圍繞這本教材進行了討論。在此基礎上，我們對第一版進行了修訂.

在本書第一版的“前言”中，我們提到了有關本書內容安排的原則。在教學中如何具體地體現這些原則，當然有賴於使用本教材的廣大師生的創造。乘本書修訂之機，這裡再多說幾句.

微積分這門課程，是一般大專院校絕大多數學生的必修課。對其中一部分學生來說，也許是他們大學階段惟一的一門數學課。而在當今時代，數學修養已經是衡量一個人潛在能力的重要標誌。因此我們的重點應該是在這門課的教學中，力求使學者通過清晰的直覺和必要的推理，比較全面地、形象地理解這門課的基本內容，而不只是孤立地、表面地、形式地背誦一些結論.

本書的對象是普通高等院校的學生。在現行的教育體制下，他們的入學分數一般是中等，入學后數學課的學時偏少。因而需要把數學教學的內容作適當的精簡。但在精簡中必須注意不能削弱對學生“清晰的直覺和必要的推理”這方面的訓練；也不能把理應啟發、引導學生思維的教材變成只剩下一堆彼此不相干的定理、公式和“題型”的堆砌.

為了落實這種理念，在本版中，我們進一步強調了基本內容之間的聯繫，即弄清新知識和原有知識之間的邏輯關係以及新知識彼此間的聯繫。前者如初等數學和微積分之間的異同(不同之處在於有理數中的有限運算和實數中的無窮運算，而其中很多運算規則又是相同的),一元微積分和二元微積分之間的異同；後者如可導與可微，導數與積分(都是利用無窮小化不均勻為均勻，但一個是無窮小之商，另一個是無窮小的無窮和),以及各種積分(一維定積分，二維曲線積分，二重積分等)的牛頓-萊布尼茨公式等。此外，本書還儘可能從多種角度來闡明一些基本概念和方法，例如求定積分時不同微元的選取，求多元函數極值中必要條件的引出等。希望這些安排能有助於學者對微積分的全面理解.

清晰的直覺除了有助於得到真正的知識以外，也是記住這些知識的重要方法。微積分是一門以極限為主要工具，以函數的各種性質為主要研究對象的基礎課。應該儘可能使學者學完后，在頭腦中留下一些比較鮮明的形象。所以本書增加了一些曲線和曲面的圖形，把一些通過推理所得的函數的重要性質體現於典型的圖像之中(諸如曲線的升降、對稱、凹凸、彎曲、連續、光滑、微分和積分中值公式等).對一些一般書中往往只給出定義的梯度、散度和旋度這些重要的概念，本書也說明了它們的幾何與物理意義.

為了便於讀者自學，在本版中，還增加了一批比較簡明的例題和習題。在內容方面，增加了一節“廣義積分”.

對於對本書提出意見的讀者，編者在此表示誠摯的謝意，並希望更多的讀者對本書提出批評和建議.

編 者

2007年12月

第1章 函數1

1.1 函數的概念與圖形4

1.1.1 函數的概念4

1.1.2 函數的圖形7

1.1.3 分段函數10

習題1.113

1.2 三角函數、指數函數、對數函數13

1.2.1 三角函數13

1.2.2 指數函數16

1.2.3 反函數18

1.2.4 對數函數20

1.3 函數運算21

1.3.1 函數的四則運算21

1.3.2 複合函數22

1.3.3 函數圖形的運算--平移23

習題1.325

1.4 函數的參數表示和極坐標表示27

1.4.1 函數的參數表示27

1.4.2 函數的極坐標表示28

複習題131

第2章 函數的極限33

2.1 函數在一點附近的性態、無窮小量33

2.1.1 無窮小量33

2.1.2 無窮小量的運算和無窮小的階35

習題2.136

2.2 函數在一點的極限及在一點的連續性37

2.2.1 函數在一點的極限37

2.2.2 函數極限的運算、函數在一點的連續性40

2.2.3 連續函數的性質42

習題2.245

複習題247

第3章 函數的導數48

3.1 導數的概念48

3.1.1 正比關係48

3.1.2 函數在一點的導數50

習題3.152

3.2 導數的運算52

習題3.256

3.3 導函數與函數的高階導數58

習題3.360

3.4 導數的應用61

3.4.1 函數的圖形61

3.4.2 函數的極值和最值65

3.4.3 函數不定式的極限 69

習題3.473

複習題375

第4章 微分與不定積分77

4.1 微分的概念77

4.2 微分的運算80

習題4.283

4.3 高階微分和泰勒公式84

4.3.1 函數在一點附近的泰勒展開式84

4.3.2 微分中值定理87

習題4.389

4.4 不定積分90

4.4.1 函數求導數的逆運算--不定積分90

4.4.2 不定積分的性質91

4.4.3 求不定積分舉例92

習題4.497

複習題4100

第5章 定積分101

5.1 定積分的定義101

5.2 定積分的性質105

習題5.2106

5.3 定積分的計算107

習題5.3110

5.4 定積分的應用111

5.4.1 極坐標表示下求曲線所圍的面積111

5.4.2 平面曲線的弧長及在一點的曲率112

5.4.3 旋轉曲面所圍的體積和面積116

5.4.4 平面圖形的重心118

5.4.5 變化的力所做的功119

習題5.4120

複習題5122

第6章 空間解析幾何124

6.1 三維空間的直角坐標124

習題6.1125

6.2 兩點間的距離和方向126

習題6.2127

6.3 向量代數127

6.3.1 向量的加法與數乘向量128

6.3.2 向量的坐標130

6.3.3 向量的內積運算130

6.3.4 向量的外積和混合積運算132

習題6.3135

6.4 平面和空間直線方程136

6.4.1 平面方程136

6.4.2 空間直線方程137

習題6.4139

6.5 二次曲面140

習題6.5143

複習題6143

附錄A145

A.1 初等代數中的幾個問題145

A.1.1 一元二次方程145

A.1.2 代數不等式147

A.1.3 複數148

A.1.4 數列150

A.1.5 二項式定理151

A.2 平面解析幾何152

A.2.1 平面直線152

A.2.2 簡單二次曲線153

A.3 集合與邏輯符號156

A.3.1 集合156

A.3.2 一些邏輯符號157

習題答案159