非線性控制理論
非線性控制理論
目錄
人類認識客觀世界和改造世界的歷史進程，總是由低級到高級，由簡單到複雜，由表及裡的縱深發展過程。在控制領域方面也是一樣，最先研究的控制系統都是線性的。例如，瓦特蒸汽機調節器、液面高度的調節等。這是由於受到人類對自然現象認識的客觀水平和解決實際問題的能力的限制，因為對線性系統的物理描述和數學求解是比較容易實現的事情，而且已經形成了一套完善的線性理論和分析研究方法。但是，對於非線性系統來說，除極少數情況外，目前還沒一套可行的通用方法，而且每種方法只能針對某一類問題有效，不能普遍適用。所以，可以這麼說，我們對非線性控制系統的認識和處理，基本上還是處於初級階段。另外，從我們對控制系統的精度要求來看，用線性系統理論來處理目前絕大多數工程技術問題，在一定範圍內都可以得到滿意的結果。因此，一個真實系統的非線性因素常常被我們所忽略了，或者被用各種線性關係所代替了。這就是線性系統理論發展迅速並趨於完善，而非線性系統理論長期得不到重視和發展的主要原因。
所謂線性只是對非線性的一種簡化或近似，或者說是非線性的一種特例。例如一個最簡單的大家都熟悉的例子就是歐姆定理。歐姆定理的數學表達式為U=IR。此式說明，電阻兩端的電壓U是和通過它的電流I成正比，這是一種簡單的線性關係。但是，即使對於這樣一個最簡單的單電阻系統來說，其動態特性，嚴格說來也是非線性的。因為當電流通過電阻以後就會產生熱量，溫度就要升高，而阻值隨溫度的升高就要發生變化。歐姆定理就不再是簡單的線性關係了，而是如下式所示的一種非線性關係：
對非線性控制系統的研究，到本世紀四十年代，已取得一些明顯的進展。主要的分析方法有：相平面法、李亞普諾夫法和描述函數法等。這些方法都已經被廣泛用來解決實際的非線性系統問題。但是這些方法都有一定的局限性，都不能成為分析非線性系統的通用方法。例如，用相平面法雖然能夠獲得系統的全部特徵，如穩定性、過渡過程等，但大於三階的系統無法應用。李亞普諾夫法則僅限於分析系統的絕對穩定性問題，而且要求非線性元件的特性滿足一定條件。雖然這些年來，國內外有不少學者一直在這方面進行研究，也研究出一些新的方法，如頻率域的波波夫判據，廣義圓判據，輸入輸出穩定性理論等。但總的來說，非線性控制系統理論目前仍處於發展階段，遠非完善，很多問題都還有待研究解決，領域十分寬廣。
非線性控制理論作為很有前途的控制理論，將成為二十一世紀的控制理論的主旋律，將為我們人類社會提供更先進的控制系統，使自動化水平有更大的飛越。
控制系統有線性和非線性之分。嚴格地說，理想的線性系統在實際中並不存在。在分析非線性系統時，人們首先會想到使用在工作點附近小範圍內線性化的方法，當實際系統的非線性程度不嚴重時，採用線性方法去進行研究具有實際意義。但是，如果實際系統的非線性程度比較嚴重，則不能採用在工作點附近小範圍內線性化的方法去進行研究，否則會產生較大的誤差，甚至會導致錯誤的結論。這時應採用非線性系統的研究方法進行研究。
非線性系統的分析方法大致可分為兩類。運用相平面法或數字計算機模擬可以求得非線性系統的精確解，進而分析非線性系統的性能，但是相平面法只適用於一階、二階系統；建立在描述函數基礎上的諧波平衡法可以對非線性系統作出定性分析，是分析非線性系統的簡便而實用的方法，尤其在解決工程實際問題上，不須求得精確解時更為有效。
1.實際系統中的非線性因素
實際的物理系統，由於其組成元件總是或多或少地帶有非線性特性，可以說都是非線性系統。例如，在一些常見的測量裝置中，當輸入信號在零值附近的某一小範圍之內時，沒有輸出，只有當輸入信號大於此範圍時，才有輸出，即輸入輸出特性中總有一個不靈敏區(也稱死區),如圖1(a)所示；放大元件的輸入信號在一定範圍內時，輸入輸出呈線性關係，當輸入信號超過一定範圍時，放大元件就會出現飽和現象，如圖1(b)所示；各種傳動機構由於機械加工和裝配上的缺陷，在傳動過程中總存在著間隙，其輸入輸出特性為間隙特性，如圖1(c)所示；有時為了改善系統的性能或者簡化系統的結構，還常常在系統中引入非線性部件或者更複雜的非線性控制器。通常，在自動控制系統中，最簡單和最普遍的就是繼電特性，如圖1(d)所示。
y y y y
M
-h -mh
0 x 0 x 0 x 0 mh h x
-M
(a) (b) (c) (d)
圖1 一些典型的非線性特性
以上情況說明，非線性特性在實際中是普遍存在的，只要系統中包含一個或一個以上具有非線性特性的元件，就稱其為非線性系統。所以，嚴格地說，實際的的控制系統都是非線性系統。所謂線性系統僅僅是實際系統忽略了非線性因素后的理想模型。當實際系統的非線性程度不嚴重時，在某一範圍內或某些條件下可以近似地視為線性系統，這時採用線性方法去進行研究具有實際意義，分析的結果符合實際系統的情況。但是，如果實際系統的非線性程度比較嚴重，則不能採用線性方法去進行研究，否則會產生較大的誤差，甚至會導致錯誤的結論，故有必要對非線性系統作專門的研究。
2. 常見非線性特性對系統運動的影響
從非線性環節的輸入與輸出之間存在的函數關係劃分，非線性特性可分為單值函數與多值函數兩類。例如死區特性、飽和特性及理想繼電特性屬於輸入與輸出間為單值函數關係的非線性特性。間隙特性和一般繼電特性則屬於輸入與輸出之間為多值函數關係的非線性特性。
在實際控制系統中，最常見的非線性特性有死區特性、飽和特性、間隙特性和繼電特性等。在多數情況下，這些非線性特性都會對系統正常工作帶來不利影響。下面從物理概念上對包含這些非線性特性的系統進行一些分析，有時為了說明問題，仍運用線性系統的某些概念和方法。雖然分析不夠嚴謹，但便於了解，而且所得出的一些概念和結論對於從事實際系統的調試工作是具有參考價值的。
(1)：死區 死區特性如圖1(a)所示。對於線性無靜差系統，系統進入穩態時，穩態誤差為零。若控制器中包含有死區特性，則系統進入穩態時，穩態誤差可能為死區範圍內的某一值，因此死區對系統最直接的影響是造成穩態誤差。當輸入信號是斜坡函數時，死區的存在會造成系統輸出量在時間上的滯后，從而降低了系統的跟蹤速度。摩擦死區特性可能造成運動系統的低速不均勻；另一方面，死區的存在會造成系統等效開環增益的下降，減弱過渡過程的振蕩性，從而可提高系統的穩定性。死區也能濾除在輸入端作小幅度振蕩的干擾信號，提高系統的抗干擾能力。
-
測量元件 放大元件 執行元件
圖2 包含死區特性的非線性系統
在圖2所示的非線性系統中，K1、K2、K3分別為測量元件、放大元件和執行元件的傳遞係數，Δ1、Δ2、Δ3分別為它們的死區。若把放大元件和執行元件的死區折算到測量元件的位置（此時放大元件和執行元件無死區），則有下式成立：
(1)
顯而易見，處於系統前向通路最前面的測量元件，其死區所造成的影響最大，而放大元件和執行元件死區的不良影響可以通過提高該元件前級的傳遞係數來減小。
(2)：飽和 飽和特性如圖1(b)所示。飽和特性將使系統在大信號作用之下的等效增益降低，一般地講，等效增益降低，會使系統超調量下降，振蕩性減弱，穩態誤差增大。處於深度飽和的控制器對誤差信號的變化失去反應，從而使系統喪失閉環控制作用。在一些系統中經常利用飽和特性作信號限幅，限制某些物理參量，保證系統安全合理地工作。
若線性系統為振蕩發散，當加入飽和限制后，系統就會出現自持振蕩的現象。這是因為隨著輸出量幅值的增加，系統的等效增益在下降，系統的運動有收斂的趨勢；而當輸出量幅值減小時，等效增益增加，系統的運動有發散的趨勢，故系統最終應維持等幅振蕩，出現自持振蕩現象。
(3)：間隙 又稱迴環，間隙特性如圖1(c)所示。在齒輪傳動中，由於間隙存在，當主動齒輪方向改變時，從動輪保持原位不動，直到間隙消失后才改變轉動方向。鐵磁元件中的磁滯現象也是一種迴環特性。間隙特性對系統性能的影響：一是增大了系統的穩態誤差，降低了控制精度，這相當於死區的影響；二是因為間隙特性使系統頻率響應的相角遲后增大，從而使系統過渡過程的振蕩加劇，甚至使系統變為不穩定。
(4)：繼電特性 繼電特性如圖1(d)所示，其特性中包含了死區、迴環及飽和特性。當h=0時，稱為理想繼電特性。
理想繼電特性串入系統，在小偏差時開環增益大，系統的運動一般呈發散性質；而在大偏差時開環增益很小，系統具有收斂性質。故理想繼電控制系統最終多半處於自持振蕩工作狀態。
繼電特性能夠使被控制的執行裝置在最大輸入信號下工作，可以充分發揮其調節能力，故有可能利用繼電特性實現快速跟蹤。
至於帶死區的繼電特性，將會增加系統的定位誤差，而對其它動態性能的影響，類似於死區、飽和非線性特性的綜合效果。
以上只是對系統前向通道中包含某個典型非線性特性的情況進行了直觀的討論，所得結論為一般情況下的定性結論，這些結論對於從事實際系統的調試工作是具有參考價值的。
3. 非線性系統特徵
描述線性系統運動狀態的數學模型是線性微分方程，其重要特徵是可以應用疊加原理；描述非線性系統運動狀態的數學模型是非線性微分方程，不能應用疊加原理。由於兩類系統的根本區別，它們的運動規律是很不相同的。現將非線性系統所具有的主要運動特點歸納如下：
(1)：穩定性 線性系統的穩定性只取決於系統的結構和參數，而與外作用和初始條件無關。因此，討論線性系統的穩定性時，可不考慮外作用和初始條件。只要線性系統是穩定的，就可以斷言，這個系統所有可能的運動都是穩定的。
對於非線性系統，不存在系統是否穩定的籠統概念，必須針對系統某一具體的運動狀態，才能討論其是否穩定的問題。例如一個非線性系統，其非線性微分方程為：
(2)
設t=0時，系統的初始條件為x0，可以求得上述微分方程的解為：
(3)
x
1
0 t
圖3非線性系統的時間響應
不同初始條件下的時間響應曲線如圖3所示。實際上，根據式( 2),可以判斷x(t)的變化情況，粗略地看，當x0>1時，dx/dt>0，x(t)隨時間的增長而增大；當00，x(t)隨時間的增長而增大，最終趨於零。
在式 2中，若令dx/dt=0，可以求出系統的兩個平衡狀態：x=0和x=1，x=0這個平衡狀態是穩定的，因為它對x0<1的擾動具有恢復原狀態的能力；而x=1這個平衡狀態是不穩定的，稍加擾動不是收斂到零，就是發散到無窮，不可能再回到這個平衡狀態。
由此可見，非線性系統可能存在多個平衡狀態，其中某些平衡狀態是穩定的，另一些平衡狀態是不穩定的。初始條件不同，系統的運動可能趨於不同的平衡狀態，運動的穩定性就不同。所以說，非線性系統的穩定性不僅與系統的結構和參數有關，而且與運動的初始條件、輸入信號有直接關係。
C(t) 線性系統 非線性系統
R2
R1
0 t
圖4不同大小輸入信號的響應曲線
(2)：時間響應 線性系統時間響應的一些基本特徵（如振蕩性和收斂性）與輸入信號的大小及初始條件無關。圖4中的虛線表明，對於線性系統，階躍輸入信號的大小隻影響響應的幅值，而不會改變響應曲線的形狀。非線性系統的時間響應與輸入信號的大小和初始條件有關。圖4中的實線表明，對於非線性系統，隨著階躍輸入信號的大小不同，響應曲線的幅值和形狀會產生顯著變化，從而使輸出具有多種不同的形式。同是振蕩收斂的，但振蕩頻率和調節時間均不相同，還可能出現非周期形式，甚至出現發散的情況。這是由於非線性特性不遵守疊加原理的結果。
(3)：自持振蕩 線性定常系統只有在臨界穩定的情況下，才能產生等幅振蕩。需要說明的是，這種振蕩是靠參數的配合達到的，因而實際上是很難觀察到的，而且等幅振蕩的幅值及相角與初始條件有關，一旦受到擾動，原來的運動便不能維持，所以說線性系統中的等幅振蕩不具有穩定性。
有些非線性系統在沒有外界周期變化信號的作用下，系統中就能產生具有固定振幅和頻率的穩定周期運動。如振蕩發散的線性系統中引入飽和特性時就會產生等幅振蕩，這種固定振幅和頻率的穩定周期運動稱為自持振蕩，其振幅和頻率由系統本身的特性所決定。自持振蕩具有一定的穩定性，當受到某種擾動之後，只要擾動的振幅在一定的範圍之內，這種振蕩狀態仍能恢復。在多數情況下，不希望系統有自持振蕩。長時間大幅度的振蕩會造成機械磨損、能量消耗，並帶來控制誤差。但是有時又故意引入高頻小幅度的顫振，來克服間隙、摩擦等非線性因素給系統帶來的不利影響。因此必須對自持振蕩產生的條件、自持振蕩振幅和頻率的確定，以及自持振蕩的抑制等問題進行研究。所以說自持振蕩是非線性系統一個十分重要的特徵，也是研究非線性系統的一個重要內容。
Ac
0 ω1 ω2 ω
圖5 非線性系統的頻率響應曲線
(4)：對正弦信號的響應 線性系統當輸入某一恆定幅值和不同頻率ω的正弦信號時，穩態輸出的幅值Ac是頻率ω的單值連續函數。對於非線性系統輸出的幅值Ac與ω的關係可能會發生跳躍諧振和多值響應，其特性如圖5所示。當ω增加時，系統輸出的幅值從1點逐漸變化到2點，然後會從2點突跳到3點；而當ω減小時，系統輸出的幅值會從4點變化到5點，然後會從5點突跳到6點，這種振幅隨頻率的改變出現突跳的現象稱為跳躍諧振。在ω1到ω2之間的每一個頻率，都對應著三個振幅值，不過2點到5點之間對應的振蕩是不穩定的，因此一個頻率對應了兩個穩定的振蕩，這種現象稱為多值響應。產生跳躍諧振的原因是系統中滯環特性的多值特點造成的。
(5)：非線性系統的畸變現象 線性系統在正弦信號作用下的穩態輸出是與輸入同頻率的正弦信號；非線性系統在正弦信號作用下的穩態輸出不是正弦信號，它可能包含有倍頻和分頻等各種諧波分量，從而使系統輸出產生非線性畸變。
在非線性系統中還會出現一些其它的怪異現象，在此不再贅述。
4.非線性系統的分析方法
對於非線性系統，建立數學模型的問題要比線性系統困難得多，至於解非線性微分方程，用其解來分析非線性系統的性能，就更加困難了。這是因為除了極特殊的情況外，多數非線性微分方程無法直接求得解析解。所以到目前為止，還沒有一個成熟、通用的方法可以用來分析和設計各種不同的非線性系統，目前研究非線性系統常用的工程近似方法有：
(1)：相平面法 相平面法是時域分析法在非線性系統中的推廣應用，通過在相平面上繪製相軌跡，可以求出微分方程在任何初始條件下的解，所得結果比較精確和全面。但對於高於二階的系統，需要討論變數空間中的曲面結構，從而大大增加了工程使用的難度。故相平面法僅適用於一、二階非線性系統的分析。
(2)：描述函數法 描述函數法是一種頻域的分析方法，它是線性理論中的頻率法在非線性系統中的推廣應用，其實質是應用諧波線性化的方法，將非線性元件的特性線性化，然後用頻率法的一些結論來研究非線性系統。這種方法不受系統階次的限制，且所得結果也比較符合實際，故得到了廣泛應用。
(3)：計算機求解法 用模擬計算機或數字計算機直接求解非線性微分方程，對於分析和設計複雜的非線性系統，幾乎是唯一有效的方法。隨著計算機的廣泛應用，這種方法定會有更大的發展。
應當指出，這些方法主要是解決非線性系統的“分析”問題，而且是以穩定性問題為中心展開的，非線性系統“綜合”方法的研究遠不如穩定性問題的成果，可以說到目前為止還沒有一種簡單而實用的綜合方法，可以用來設計任意的非線性控制系統。