張芷芬

張芷芬1927年1月8日出生在浙東沿海一個偏僻的小鄉村——海屋張家村，該村隸屬於慈溪縣。若干年前這裡曾是灘塗，村莊也因此得名。父親張如海，曾是煙紙店店員，識字不多。母親邱澄書，念過一二年私塾，靠她自己勤奮好學，能背誦一些古詩詞，且能算能寫，在當地算是一個很有文化的人。張芷芬小學畢業后，母親不顧親友們的非議，送她到數百裡外的嵊縣讀中學（當時寧波已淪陷，寧波中學遷到嵊縣），這在當時當地實在是難以想象的事。

一年後嵊縣各村鎮相繼淪陷，學校一次又一次地遷移，最後被迫宣布解散。張芷芬和一些同學不顧日機的轟炸徒步走到福建，后又輾轉到江西等地，靠戰地流亡學生助學金和獎學金念完中學。1945年抗日戰爭勝利結束，1946年她高中畢業后回到上海父親處逗留，在那裡考入北京大學先修班，一年後轉入本科。

在這一階段對她影響最深的是她的母親，還有中學里的一批好老師。抗戰時期物質條件雖很差，但中學師資條件卻很好，如寧波中學、福州高中，還有江西贛州以蔣經國為校長的正氣中學，大多數教師具有大學學歷。正是這樣一批好老師培育她勤奮讀書，使她初步樹立了懵懂的人生追求。極其艱苦的物質環境也磨練了她的意志。特別是那滿目瘡痍，受盡躪辱的民族的苦難形象深深地銘刻在她的心底，使她終身難以忘懷，一直激勵著她的愛國、報國熱情。

1951年張芷芬畢業於北京大學數學系並留校工作。1954年到1957年由國家選派到前蘇聯莫斯科大學力學數學系攻讀研究生，並獲得副博士學位。在導師V.V.涅梅茨基（Nemytskii）教授指導下，她有了做研究工作全過程的體驗，增強了從事科研工作的信心和能力。

20世紀五六十年代的莫斯科大學被公認為國際數學的重要中心之一，在那裡聚集著一大批傑出的數學家，如當時力學數學系主任是A.X.柯爾莫戈洛夫（Колмогоpов），他們親自授課，張芷芬有幸聆聽他們的教誨。

在這高水平的學者和專家雲集的地方學習，大大地拓寬了張芷芬的眼界，對什麼是科學發展的前沿和重要問題有了一點感性認識。這使她在今後的人生征途中始終不敢有所懈怠；在她頭腦中的天平永遠是國家給予她的總遠遠地超過她為國家做的。

自1957年回國后張芷芬一直在北京大學數學系工作。在其中的前20年間，她擔負著繁重的行政工作和社會工作，但仍始終堅持科研，沒有脫離教學工作，還把節假日和大部分業餘時間用在業務學習上。當然，這與她丈夫章燕申（清華大學精密儀器系教授，1956年獲莫斯科包曼技術大學副博士學位）多年來的支持是分不開的：他差不多始終擔負著一半的家務勞動。

“文化大革命”結束后，國家的科教政策日趨穩定完善。為了儘快奪回失去的時間，張芷芬沒有在原有方向上駕輕就熟，而是與學生和同事們一起，以原有方向為基礎向研究前沿靠攏，開始關心向量場分岔理論等。那些年來他們積極地參加國際交流，出訪美國、日本和歐洲的許多國家，張芷芬還10餘次應邀在國際會議上作了大會報告。

1988年6月，應邀訪問波蘭科學院的巴拿赫（Banach）中心，參加了那裡的動力系統會議，作了關於拓撲動力系統的極小集的報告；

1991年7月，在英國巴斯（Bath）大學召開的關於非線性系統的國際會議上，作了以“一類退化平衡點的臨界同宿軌的開折”為題的50分鐘大會報告（與李偉固、李承治合作）；

1996年6月，在杭州召開的中美雙邊微分方程及其應用國際會議上，作了以“希爾伯特（Hilbert）第16問題的發展近況”為題的1小時大會報告；

1997年10月，在法國馬賽魯明尼（Luminy）召開的關於多項式向量場的國際會議上，作了“關於余維3的初等環和組合環的環性”為題的50分鐘大會報告（與趙麗琴、李偉固合作）；

2001年11月，參加了在日本京都大學召開的“泛函方程動力學及其相關問題”會議，作了“關於無窮小希爾伯特第16問題”的大會報告。

1927年1月8日 出生在浙江省慈溪縣。

1946年11月-1947年6月 北京大學先修班學習。

1947年9月-1951年6月 北京大學數學系學習，畢業。

1951年6月-1952年3月 北京大學數學系助教。

1952年3月-1953年3月 北京俄文專修學校學習。

1953年3月-1954年9月 國家計劃委員會工作。

1954年10月-1957年11月 莫斯科大學力學數學系研究生畢業，獲副博士學位。

1957年11月-1960年 北京大學力學數學系教員。

1960-1966年 北京大學力學數學系副教授，北京大學力學數學系副系主任。

1983年至今 北京大學力學數學系教授、博士生導師。

關於李納方程極限環的個數

1.關於李納方程極限環的唯一性

關於極限環的唯一性問題要比存在性問題難些，直到20世紀四五十年代才有N.萊文森（Levinson），G.桑索內（Sansone），R.孔蒂（Conti），J.I.馬賽拉（Massera）等人的惟一性定理，而他們得到的充分條件都加在函數g（x），f（x），或F（x）的對稱性或它們零點的對稱性上。1957年張芷芬在副博士論文中第一次指出，阻尼函數的凹凸性是影響極限環唯一性的更本質的性質，實際上f（x）的星形性就能保證唯一性。她在1958年和1986年發表的文章中，對廣義李納系統在常規條件下，證明了若導函數，（0，+∞）），則（4）的極限環唯一。這一結果一直被國內外同行廣泛地引用。如見秦元勛的“微分方程所定義的積分曲線”（下冊）（1959），葉彥謙的“極限環論”（1984），桑索內和孔蒂的書“非線性微分方程”（“Non-linear Differential Equations”）（1964），L.佩柯（Perko）的書“微分方程和動力系統”（“Differential Equations and Dynamical Systems”）（1993）。在二次多項式系統和生物數學等領域中的極限環唯一性問題，很多都是利用這個唯一性定理證明的。 1982年張芷芬的學生和同事曾憲武對系統（1）的唯一性定理作了本質性推進，在阻尼函數沒有對稱性和凸凹性的限制下，他對發散量積分用分段估算、相互補償的辦法作了更精細的估計。接著張芷芬和曾憲武、高素志又將此結果從系統（1）推廣到系統（4）。他們總結了二三十年來的相關結果，經深入研究，發表了論文：“On the uniqueness of the limit cycle of the generalized Lienard equation”，它不是一篇簡單的綜合文章，文中最前面的11條引理揭示了方程（4）的發散量積分的最本質特性，每個定理後面的推論都指出了定理的要點和如何應用，已有的很多唯一性都是本文推論的特例。

2.關於一類周期阻尼李納方程極限環的惟n性

1980年張芷芬第一個證明方程

對一切μ≠0，在相空間（x，）的帶域||≤（n+1）π上恰好有n個極限環這個有多年歷史的猜想（n=0，1，2，…）。此結果引起國內外同行們的關注。不但因為它是多年來未解決的猜想，還因為它與希爾伯特第16問題相關。已知解析系統在有界區域內極限環個數有限。方程（5）是解析系統，它卻有無窮多極限環在無窮遠密集，它用實例揭示解析性只能保證極限環個數的局部有限性，卻不能保證全局有限性，只有多項式系統的極限環個數才在全平面有限。

關於拓撲動力系統

1. 非齊性極小集合

完備度量空間上定義的幾乎周期極小集合是緊緻的拓撲群，群的運算能一致地擴充到閉包，因而是齊性的，即每一點的維數相同。E.E.弗洛伊德（Floyd）在R2的正方形的閉子集上所定義的離散動力系統，它是非齊性的，它有0維和1維點。張芷芬在一個n維正方形的閉子集上定義的離散動力系統，它有0，1，…，n-1維點。仿此，可定義一n維緊緻非齊性極小集合，它有且僅有0，k1，k2，…，kj維點，其中0≤k1≤k2≤…≤kj≤n-1。由此可見幾乎周期極小集和極小集的差異。G.D.伯克霍夫（Birkhoff）猜想，在n維流形上定義的極小集合都是齊性的。A.馬爾可夫（Markov）證明此猜想對有限維連續流極小集合是對的。

2. 安東尼（Antonie）項鏈

20世紀50年代W.H.戈特沙爾克（Gottschalk）提出，能否定義一個以安東尼項鏈A為極小集合的拓撲動力系統。1982 年張芷芬在“中國科學”上發表的文章中定義了R3到自身的拓撲映射Φ，使得A是（R3，Φ）的一個完全不連通的緊緻完全的不變集（它與康托（Cantor）集等價），而R3/A不簡單連通（項鏈之名由此而來），A恰發是離散動力系統（R3，Φ）的極小集，從而第一次肯定地回答了戈特沙爾克的問題。進而，A還是（R3，Φ）的幾乎周期極小集，故它是齊性的，每一點的維數為0，於是，A不但是緊緻拓撲群，還是單純拓撲群，即它有一稠密的循環子群。A的動力學異常簡單，但A的幾何卻並不簡單，A顯然不是有限個流形的並。

關於向量場分岔理論

張芷芬從20世紀80年代起開始關心向量場的分岔理論，主要是哈密頓向量場的分岔問題，即系統（2）的極限環個數問題，也稱弱希爾伯特第16問題。

設H=h0和H=h1分別對應哈密頓向量場dH=0的奇點和奇閉軌。設閉軌Гh是H-1（h）（h0位移函數

△Pε=△Pε（h）-h=εM1+o(ε)

是阿貝爾（Abel）積分，也稱一階梅利尼柯夫（Melnikov）函數。

擾動系統（2）有閉軌的充要條件是位移函數△Pε=0，M1（h）是位移函數對ε而言的一階近似，故它在（h0，h1）上的孤立零點個數（計重次）N（m，n）與系統（2）的極限環個數緊密相關，其中degH=m+1，max（degP，degQ）=n。

1. 對m=n=2，給出N（m，n）的準確估值

當m=2，dH=0共有5種通有情形和8種非通有情形。已證得N（2，2）=2或3。其中8種非通有情形由I.D.伊利耶夫（Iliev）、李承治和趙育林等解決。5種通有情形之一由張芷芬和李承治解決。最近李承治和他的學生陳風德等在實域中給5種通有情形一種統一的證明。

2. 關於龐特里亞金定理的推廣

1934年龐特里亞金證明，當系統（2）的右側充分光滑，且M1（h*）=0.M（h*）≠0，則系統（2）有唯一極限環Lh。它連續依賴於ε，Lh→Гh*，當ε→0；且Lh穩定（不穩定），當εM1（h*）<（>）0。張芷芬在副博士論文中，在同樣假設下證明，當（h*）=0（k=0，1，2，…，n-1），而（h*）≠0，則存在充分小ε0>0，δ0>0。系統（2）至多有n個極限環在δ（Гh*）=U Гh中，當|ε|ε0。此結果被《蘇聯數學四十年》所引用。

3. 多角環的環性

多角環分兩大類：無窮余維和有限k余維。

對第一類環，張芷芬和她的學生李寶毅在一定非退化條件下證得S（2）的環性為2等。對余維k的環，已知它的環性E（k）≤k，當k=1，2；E（k）>k，當k≥4。張的博士生趙麗琴，在論文中圓滿地回答了此問題，她證得E（k）≤k，當且僅當k=1，2，3。

4. 閉曲面上的“蘭天災變”，一類全局分岔

J.帕里斯（Palis）等學者於1975年在Lecture Notes Math.468卷的一篇文章中提出了動力系統中未解決的五十個問題，其中第三十七問題是：在單參數通有向量場族中能否發生“蘭天災變”，即在C∞緊緻流形M上，定義連續向量場族Xμ（μ∈R），若存在連續映射L：（μ0-ε，μ0）→[Xμ的閉軌L（μ）]，當μ→μ0，L（μ）的周期T（μ）→∞，但L（μ）不趨於Xμ的任何奇點，這時叫“蘭天災變”，即閉軌L（μ）由於周期T（μ）趨於無窮而突然消失，但這不是由於它靠近奇點引起的。李偉固和張芷芬在閉曲面上較徹底地解決了此問題。他們證明，除了S2和P2外，“蘭天災變”可在任何閉曲面上發生，但對單參數通有族，它只能在克萊因（Klein）瓶K2上發生，且就是通過一種特定途徑發生。

5. 可積非哈密爾頓系統

關於弱希爾伯特第十六問題，目前遺留下來的問題很多也很難，其中值得一提的是可積非哈密爾頓系統。由於積分因子一般而言很不規正。阿貝爾積分號下乘上這樣的因子便寸步難行，已有的工作屈指可數。但若可積系統具有理中心，即圍繞中心的是有理代數閉曲線，則由達布定量，系統的積分因子是有理函數。對於中心附近圍繞的是低次代數閉曲線的情形，張芷芬和她的同事們證明了對一切系統，當中心附近圍繞二次代數曲線時，則N（n）=O（n）。對一切二次多項式系統，當中心附近是三次代數曲線，或四次代數曲線時，也有N（n）=O（n）。這些工作可算是對這艱難問題邁出了一步。

在以上3個科研方向上，張芷芬和學生以及同事在國內外雜誌上合作發表了50餘篇論文。“李納方程極限環個數問題和拓撲動力系統的幾個例子”獲國家教委1988年科技進步二等獎。

教學和研究生培養

自1957年以來，在教書育人的工作中，張芷芬的主要精力放在高年級大學生和研究生的培養上。她認識到，要為國家培養高質量的人才，使他們在今後的崗位上繼續奮進，逐步站在學科發展的前沿，是非常艱巨的任務。

自20世紀60年代起，張芷芬先後幾次為高年級大學生和研究生開設過微分方程定性理論專門化課，後來以此講義為基礎，她與丁同仁、黃文灶、董鎮喜合作寫成教材，於1985年由科學出版社作為現代數學基礎叢書出版，1997年重印，1992年由美國數學會出版社譯成英文作為數學專著譯叢第101卷出版發行。

與此同時，張芷芬和丁同仁、黃文灶等合作為高年級學生和青年教師開設拓撲動力系統討論班，基本教材是張芷芬的導師涅梅茨基和V.V.斯捷潘諾夫（Stepanov）的《定性理論》一書的有關章節和他的兩篇綜合文章，培養了兩屆六年制大學生，共完成畢業論文十餘篇，有的達到了碩士論文水平。這些論文加上教師完成的論文，共回答了涅梅茨基綜合文章中所列舉的未解決問題的一半。

自1981年起的十餘年間，張芷芬與李承治、李偉固等從未間斷地組織了有關向量場分岔理論和動力系統方面的討論班，系統地閱讀一些基本文獻和重要的新結果。

討論班的學術活動大大地拓寬了師生們的眼界。關於研究生培養，除了學生來源等問題外，張芷芬認識到對於教師來說，首要的是選題，要儘可能地根據學生實際情況，又要讓論文方向更接近前沿，使他們畢業后值得繼續探索。其次是要給他們從閱讀文獻，提出問題到解決問題的全過程的培養。每篇論文都應有攻堅之處，要讓學生自己去攻克，使他們經過這番磨練，提高能力，增強信心，畢業后仍有膽識去獨立地開展研究工作。她領導的討論班也在研究生培養中起著重要作用。這一期間，張芷芬共培養碩士生8名，博士生11名。今天他們大都成為有關院所的專家、教授，其中有李承治、鄭志明、李偉固、張偉年、李翠萍、肖冬梅、曹永羅、齊東文、王蘭宇、趙麗琴、趙育林、李寶毅、汪天喜等。

1 Zhifen Zhang. On the uniqueness of limit cycles of certain equations of nonlinear oscillations. Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1958, 119,659—662

2 Zhang Zhifen, Ding Tongren, Huang Wenzao. Answer to some questions on topological dynamical systems posed by Nemytskii and the others. Kexue Tongbao, 1980, 25 (11), 895—899

3 Zhang Zhifen. Theorem of existence of exact n limit cycles in |χ| ≤(n+1) π for the differential equation +μsin +χ= 0. Scientia Sinica,1980, 23 (12): 1502—1510

4 Zhang Zhifen. On the existence of exact two limit cycles of Lienard equation. Acta Math. Sinica, 1981, 24 (5): 710—716

5 Zhang Zhifen. An example of compact nonhomogeneous minimal set.Acta Math. Sinica, 1982, 25 (3): 354—364

6 Zhang Zhifen. A topological dynamical system in R3 with antonie's necklace as a minimal set. Scientia Sinica, 1982, 25 (9) : 932—941

7 張芷芬、丁同仁、黃文灶、董鎮喜，微分方程定性理論。北京：科學出版社，1985；1987年重印

8 Li Weigu, Zhang Zhifen. The “Blue sky Catastrophe” on closed surfaces. Proceeding of the International Conference “Dynamical System and Related Topics”. Nagoya, Japan, World Scientific, 1990. 316—332

9 Zhang Zhifen, Ding Tongren, Huang Wenzao, Dong Zhenxi. Qualitative theory of differential equations. Translations of Mathematical Monographs, AMS, 1992, Vol. 101

10 Zeng Xianwu, Zhang Zhifen, Gao Suzhi. On the uniqueness of the limitcycle of the generalized Lienard equation. Bull London Math. Soc. ,1994, 26: 213—247

11 Li Baoyi, Zhang Zhifen. A note on a result of G. S. Petrov about the weakened 16th Hilbert problem. J. Math. Anal. Appl. , 1995, 190 (2): 489—516

12 Dumortier Freddy, Li Chengzhi, Zhang Zhifen. Unfolding of a quadratic integrable system with two centers and two unbounded heteroclinic loops. J. Differential equations, 1997, 139 (1): 146—193

13 Li Baoyi, Zhang Zhifen. Bifurcation phenomenon of a class of planar codimension 3 polycycle S(2) with two saddles resonating. Science China (Ser. A), 1997, 40 (12): 1259—1271

14 張芷芬、李承治、鄭志明、李偉固，向量場的分岔理論基礎。北京：高等教育出版社，1997

15 Zhao Liqin, Li Weigu, Zhang Zhifen. Cyclicity of elementary polycycles and ensembles with codimension 3 degeneration. Chinese Sci.Bull., 1998, 43 (22): 1849—1864

16 Zhao Yulin, Zhang Zhifen. Linear estimate of the number of zeros of Abelian integrals for a kind of quartic Hemiltonians. J. Differential Equations, 1999, 155 (1): 73—88

17 Li Chengzhi, Li Weigu, Llibre Jaume, Zhang Zhifen. Linear estimate for the number of zeros of Abelian integrals for quadratic isochronous centers. Nonlinearity, 2000, 13: 1775—1800

18 Li Chengzhi, Li Weigu. Llibre Jaume, Zhang Zhifen. Linear estimation for the number of zeros of Abelian integrals for some cubic isochronous centers. J. Differential Equations, 2002, 180: 307—333

19 Gasull Armengol, Li Weigu, Llibre Jaume, Zhang Zhifen. Chebyshev property of complete elliptic integrals and its application to abelian integrals. Pacific Journal of Mathematics. 2002, 202 (2): 341—361

20 Zhao Yulin, Li Weigu, Li Chengzhi, Zhang Zhifen. Linear estimate for the number of zeros of Abelian integrals for quadratic centers having almost all their orbits formed by cubics. Science China (Ser. A) , 2002,45 (8): 964—974

21 Li Weigu, Zhao Yulin, Li Chengzhi, Zhang Zhifen. Abelian integrals for quadratic centers having almost all their orbits formed by quartics.Nonlinearity, 2002, 15: 863—885