拉格朗日力學
1788年約瑟夫·拉格朗日提出的理論
拉格朗日力學,分析力學中的一種,由拉格朗日在1788年建立,是對經典力學的一種的新的數學表述。經典力學,最初的表述形式由牛頓建立,它著重分析位移,速度,加速度,力等矢量間的關係,又稱為矢量力學。拉格朗日引入了廣義坐標的概念,運用達朗貝爾原理,得到和牛頓第二定律等價的拉格朗日方程。但拉格朗日方程具有更普遍的意義,適用範圍更廣泛。並且,選取恰當的廣義坐標,可以使拉格朗日方程的求解大大簡化。
拉格朗日力學
哈密爾頓量H可以通過對拉格朗日量進行勒讓德變換得到。哈密爾頓量是經典力學的另一種表述哈密爾頓力學的基礎。拉格朗日量可以視為定義在所有廣義坐標可能值組成的組態空間的切叢上的函數,而哈密爾頓量是相對應的餘切叢上的函數。哈密爾頓量在量子力學中到處出現(參看哈密爾頓量 (量子力學))。
拉格朗日力學
到了青年時代,在數學家雷維里的教導下,拉格朗日喜愛上了幾何學。17歲時,他讀了英國天文學家哈雷的介紹牛頓微積分成就的短文《論分析方法的優點》后,感覺到“分析才是自己最熱愛的學科”,從此他迷上了數學分析,開始專攻當時迅速發展的數學分析。
拉格朗日
1755年拉格朗日19歲時,在探討數學難題“等周問題”的過程中,他以歐拉的思路和結果為依據,用純分析的方法求變分極值。第一篇論文“極大和極小的方法研究”,發展了歐拉所開創的變分法,為變分法奠定了理論基礎。變分法的創立,使拉格朗日在都靈聲名大震,並使他在19歲時就當上了都靈皇家炮兵學校的教授,成為當時歐洲公認的第一流數學家。1756年,受歐拉的舉薦,拉格朗日被任命為普魯士科學院通訊院士。
1764年,法國科學院懸賞徵文,要求用萬有引力解釋月球天平動問題,他的研究獲獎。接著又成功地運用微分方程理論和近似解法研究了科學院提出的一個複雜的六體問題(木星的四個衛星的運動問題),為此又一次於1766年獲獎。
1766年德國的腓特烈大帝向拉格朗日發出邀請時說,在“歐洲最大的王”的宮廷中應有“歐洲最大的數學家”。於是他應邀前往柏林,任普魯士科學院數學部主任,居住達20年之久,開始了他一生科學研究的鼎盛時期。在此期間,他完成了《分析力學》一書,這是牛頓之後的一部重要的經典力學著作。書中運用變分原理和分析的方法,建立起完整和諧的力學體系,使力學分析化了。他在序言中宣稱:力學已經成為分析的一個分支。
這期間他參加了巴黎科學院成立的研究法國度量衡統一問題的委員會,並出任法國米制委員會主任。1799年,法國完成統一度量衡工作,制定了被世界公認的長度、面積、體積、質量的單位,拉格朗日為此做出了巨大的努力。
1791年,拉格朗日被選為英國皇家學會會員,又先後在巴黎高等師範學院和巴黎綜合工科學校任數學教授。1795年建立了法國最高學術機構——法蘭西研究院后,拉格朗日被選為科學院數理委員會主席。此後,他才重新進行研究工作,編寫了一批重要著作:《論任意階數值方程的解法》、《解析函數論》和《函數計算講義》,總結了那一時期的特別是他自己的一系列研究工作。
1813年4月3日,拿破崙授予他帝國大十字勳章,但此時的拉格朗日已卧床不起,4月11日早晨,拉格朗日逝世。
拉格朗日力學
在柏林工作的前十年,拉格朗日把大量時間花在代數方程和超越方程的解法上,作出了有價值的貢獻,推動了代數學的發展。他提交給柏林科學院兩篇著名的論文:《關於解數值方程》和《關於方程的代數解法的研究》。把前人解三、四次代數方程的各種解法,總結為一套標準方法,即把方程化為低一次的方程(稱輔助方程或預解式)以求解。
拉格朗日力學
在《解析函數論》以及他早在1772年的一篇論文中,在為微積分奠定理論基礎方面作了獨特的嘗試,他企圖把微分運算歸結為代數運算,從而拋棄自牛頓以來一直令人困惑的無窮小量,並想由此出發建立全部分析學。但是由於他沒有考慮到無窮級數的收斂性問題,他自以為擺脫了極限概念,其實只是迴避了極限概念,並沒有能達到他想使微積分代數化、嚴密化的目的。不過,他用冪級數表示函數的處理方法對分析學的發展產生了影響,成為實變函數論的起點。
拉格朗日力學
他還給出剛體在重力作用下,繞旋轉對稱軸上的定點轉動(拉格朗日陀螺)的歐拉動力學方程的解,對三體問題的求解方法有重要貢獻,解決了限制性三體運動的定型問題。拉格朗日對流體運動的理論也有重要貢獻,提出了描述流體運動的拉格朗日方法。
拉格朗日的研究工作中,約有一半同天體力學有關。他用自己在分析力學中的原理和公式,建立起各類天體的運動方程。在天體運動方程的解法中,拉格朗日發現了三體問題運動方程的五個特解,即拉格朗日平動解。此外,他還研究了彗星和小行星的攝動問題,提出了彗星起源假說等。
近百餘年來,數學領域的許多新成就都可以直接或間接地溯源於拉格朗日的工作。所以他在數學史上被認為是對分析數學的發展產生全面影響的數學家之一。被譽為“歐洲最偉大的數學家”。
拉格朗日力學
假設
格朗日力學的一個基本假設是:具有n個自由度的系統,其運動狀態完全由n個廣義坐標及它們的微商(廣義速度)決定。或者說,力學系統的運動狀態由一個廣義坐標和廣義速度的函數描述:
這個函數稱為拉格朗日函數或拉格朗日量。
拉格朗日力學中,運動方程由 個二階微分方程(拉格朗日方程)給出:
其中Q為所對應的非保守的廣義力。拉格朗日方程的地位等同於牛頓力學中的牛頓第二定律。但具有更普遍的意義。