初等代數

代數（algebra）是由算術（arithmetic）演變來的，這是毫無疑問的。至於什麼年代產生的代數學這門學科，就很不容易說清楚了。比如，如果你認為“代數學”是指解這類用符號表示的代數方程的技巧。那麼，這種“代數學”是在十六世紀才發展起來的。

如果我們對代數符號不是要求象現在這樣簡練，那麼，代數學的產生可上溯到更早的年代。西方人將公元前三世紀古希臘數學家丟番圖看作是代數學的鼻祖。而在中國，用文字來表達的代數問題出現的就更早了。

“代數”作為一個數學專有名詞、代表一門數學分支在我國正式使用，最早是在1859年。那年，清代數學家裡李善蘭和英國人韋列亞力共同翻譯了英國人棣么甘所寫的一本書，譯本的名稱就叫做《代數學》。當然，代數的內容和方法，我國古代早就產生了，比如《九章算術》中就有方程問題。

從“九章算術”卷八說明方程以後，在數值代數的領域內中國一直保持了光輝的成就。 “九章算術”方程章首先解釋正負術是確切不移的，正象人們學習初等代數時從正負數的四則運算學起一樣，負數的出現便豐富了數的內容。古代的方程在公元前一世紀的時代已有多元方程組、一元二次方程及不定方程幾種。一元二次方程是借用幾何圖形而得到證明。不定方程的出現在二千多年前的中國是一個值得重視的課題，這比人們所熟知的希臘丟番圖方程要早三百多年。

具有形式的三次方程，中國在公元七世紀的唐代王孝通“緝古算經”已有記載，用“從開立方除之”而求出數字解答（可惜原解法失傳了），不難想象王孝通得到這種解法時的愉快程度，他說誰能改動他著作內的一個字可酬以千金。十一世紀的賈憲已發明了和霍納（1786-1837）方法相同的數字方程解法，人們也不能忘記十三世紀中國數學家秦九韶在這方面的偉大貢獻。在世界數學史上對代數方程的原始記載有著不同的形式，但比較起來不得不推中國天元術的簡潔明了。四元術是天元術發展的必然產物。級數是古老的東西，二千多年前的“周髀算經”和“九章算術”都談到算術級數和幾何級數。十四世紀初中國元代朱世傑的級數計算應給予很高的評價，他的有些工作歐洲在十八、十九世紀的著作內才有記錄。十一世紀時代，中國已有完備的二項式係數表，並且還有這表的編製方法。

歷史文獻揭示出在計算中有名的盈不足術是由中國傳往歐洲的。內插法的計算，中國可上溯到六世紀的劉焯，並且七世紀末的僧一行有不等間距的內插法計算。十四世紀以前，屬於代數方面許多問題的研究，中國是先進國家之一。到十八、十九世紀由李銳（1773-1817）、汪萊（1768-1813）到李善蘭（1811-1882），他們在這一方面的研究上也都發表了很多的名著。

初等代數的中心內容是解代數方程，因而長期以來都把代數學理解成代數方程的科學，數學家們也把主要精力集中在代數方程的研究上。它的研究方法是高度計算性的。

要討論代數方程，首先遇到的一個問題是如何把實際中的數量關係組成代數式，然後根據等量關係列出方程。所以初等代數的一個重要內容就是代數式。由於事物中的數量關係的不同，大體上初等代數形成了整式、分式和根式這三大類代數式。代數式是數的化身，因而在代數中，它們都可以進行四則運算，服從基本運算定律，而且還可以進行乘方（這裡僅限於有理數指數冪）和開方兩種新的運算。通常把這六種運算叫做代數運算，以區別於只包含四種運算的算術運算。

在初等代數的產生和發展的過程中，通過代數方程的研究，也促進了數的概念的進一步發展，將算術中討論的整數和分數的概念擴充到有理數的範圍，使數包括正負整數、正負分數和零。這是初等代數的又一重要內容，就是數的概念的擴充。

有了有理數，初等代數能解決的問題就大大的擴充了。但是，有些一元多項式方程在有理數範圍內仍然沒有解。於是，數的概念在一次擴充到了實數，進而又進一步擴充到了複數。

那麼到了複數範圍內是不是仍然有代數方程沒有解，還必須把複數再進行擴展呢？數學家們說：不用了。這就是代數里的一個著名的定理——代數基本定理。這個定理簡單地說就是n次方程有n個根。1742年12月15日瑞士數學家歐拉曾在一封信中明確地做了陳述，後來另一個數學家、德國的高斯在1799年給出了嚴格的證明。

把上面分析過的內容綜合起來，組成初等代數的基本內容就是：

三種數——有理數、無理數、複數；

三種式——整式、分式、根式（統稱代數式）；

三類方程——整式方程、分式方程、無理方程（統稱代數方程），

以及由有限多個代數方程聯立而成的代數方程組。

值得注意的是：根據方程的定義，只要是含有未知數的等式，就是方程。這裡之所以要強調”代數方程“，是因為除了代數方程之外，還有超越方程（即非代數的初等方程，包括指數方程、對數方程、三角方程、反三角方程等）、微分方程、差分方程、積分方程等許多其他形式的方程。後面幾類顯然不屬於代數的範疇。一些有關數學史的內容經常將代數定義為“以解方程為核心的學科”，主要是因為歷史上關於代數方程的知識在微積分等近代數學分支建立以前就早有研究了。既然當時都沒有微積分，數學家們又怎能想起建立微分方程的概念呢？

初等代數的內容大體上相當於現行中學設置的代數課程的內容，但又不完全相同。比如，嚴格的說，數的概念、排列和組合應歸入算術的內容；函數是分析數學的內容；不等式的解法有點像解方程的方法，但不等式作為一種估算數值的方法，本質上是屬於分析數學的範圍；坐標法是研究解析幾何的，等等。這些都只是歷史上形成的一種編排方法。

初等代數是算術的繼續和推廣，初等代數研究的對象是代數式的運算和代數方程的求解。代數運算的特點是只進行有限次的加、減、乘、除和開方。全部初等代數總起來有十條規則。這是學習初等代數需要理解並掌握的要點。

五條基本運算律：加法交換律、加法結合律、乘法交換律、乘法結合律、分配律；

兩條等式基本性質：等式兩邊同時加（減）上一個數，等式不變；等式兩邊同時乘（除）以一個非零的數，等式不變；

三條指數律：同底數冪相乘，底數不變指數相加；冪的乘方，底數不變指數相乘；積的乘方等於乘方的積。

初等代數學進一步地向兩個方面發展，一方面是研究未知數更多的一次方程組；另一方面是研究未知數次數更高的（一元）高次方程。這時候，代數學已由初等代數向著高等代數的方向發展了，相應地也形成了”線性代數“與”（一元）多項式代數“兩大板塊。

初等代數學是指19世紀上半葉以前的代數方程理論，主要研究某一代數方程（組）是否可解，怎樣求出代數方程所有的根（包括近似根）以及代數方程的根所具有的各種性質等。代數學可分為初等代數學和抽象代數學兩部分。初等代數學是更古老的算術的推廣和發展，而抽象代數學則是在初等代數學的基礎上產生和發展起來的。

初等代數從最簡單的一元一次方程開始，一方面進而討論二元及三元的一次方程組，另一方面研究二次以上及可以轉化為二次的方程組。沿著這兩個方向繼續發展，代數在討論任意多個未知數的一次方程組，也叫線型方程組的同時還研究次數更高的一元方程組。發展到這個階段，就叫做高等代數。

高等代數是代數學發展到高級階段的總稱，它包括許多分支。現在大學里開設的高等代數，一般包括兩部分：線性代數、多項式代數。高等代數在初等代數的基礎上研究對象進一步的擴充，引進了許多新的概念以及與通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空間等。這些量具有和數相類似的運算的特點，不過研究的方法和運算的方法都更加繁複，也更加抽象。

集合是具有某種屬性的事物的全體；向量是除了具有數值還同時具有方向的量；向量空間也叫線性空間，是由許多向量組成的並且符合某些特定運算的規則的集合。向量空間中的運算對象已經不只是數，而是向量了，其運算性質也由很大的不同了。

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