20世紀數學思想

《20世紀數學思想》是1999 年山東教育出版社出版的圖書，作者是胡作玄、鄧明立。

20世紀數學思想

書名

20世紀數學思想

圖書簡介

本書以數學思想的發展為主線，根據數學各分支在20世紀的演進歷史，引用大量的新概念、定理和成果，系統闡述了20世紀數學思想的發展歷程。資料豐富，分析精闢，見解深刻，全方位、大視角地勾畫出20世紀數學發展的壯麗圖景，是我國第一部對20世紀數學進行研究的力作。

數學活動的核心是數學思想活動。數學在漫長的發展過程中，不僅建立了嚴密的知識體系，而且形成了一整套思想和方法，總結這些思想方法形成和演進的規律，有助於深化對數學的認識並促進數學的發展。因此，在世紀之交全面總結一下20世紀的數學思想和歷史，無疑是一件意義重大的工作。

然而，這是一件十分不容易的工作。這首先是因為20世紀的數學不像19世紀的數學那樣具有一種健康的數學文化。20世紀的數學沒有系統、沒有明晰的歷史的來龍去脈，剩下的只是“定義——定理——證明”的汪洋大海。20世紀的數學門類繁多，內容廣泛，已經發展到了“隔行如隔山”的地步。從數學內容的精深和數學領域的廣闊來看，現在我們幾乎無法全面而深入地掌握20世紀的數學素材。

另一方面，有關20世紀數學思想和數學史的研究資料缺乏。20世紀以來，許多數學家對數學思想方法進行了研究。例如，法國著名數學家龐加萊在1902—1908年發表的論文《科學與假設》、《科學與方法》等都是數學思想的專著。1954年美籍匈牙利著名數學家波利亞先後出版了《數學與猜想》、《數學的發現》等著作，對貫穿於整個數學中的思想、方法進行了較為深刻的論述和總結。1956年亞歷山大洛夫等許多前蘇聯著名數學家合著的《數學——它的內容、方法和意義》，日本的細井淙於1953年發表的《東西方數學思想史》、三宅剛一於1968年發表的《數學哲學思想史》，美國數學家M·克萊因於1972 年發表的《古今數學思想》等，都從歷史的角度研究了數學思想方法的產生與發展。這些著作被譯成多種文字發行到全世界，大大促進了數學思想和數學史的研究。20世紀80年代以來，我國著名數學家徐利治教授出版了《數學方法論選講》等著作；解恩澤教授主編了《數學思想方法縱橫談》、《數學思想方法》等書。我國數學家和數學工作者關於數學思想方法方面的著作和論文，豐富了數學思想和數學史的研究。但是，回首中外數學思想和數學史研究，迄今尚缺乏對20世紀數學思想的歸納和分析。20世紀數學史研究可以說幾乎是空白，鄭重的數學史研究大致到達19世紀末，而20世紀數學史研究直到最近才剛剛開始，研究的範圍還局限在1900年到1950年。

在這種情況下，寫一部總結20世紀數學思想的著作，無疑是一件開創性的工作，它需要作者具有淵博的數學知識、豐厚的數學文化素養和過人的膽識。胡作玄、鄧明立二位先生做了這件工作，把一部洋洋44萬多字的《20世紀數學思想》（山東教育出版社出版）呈現在世人的面前。

本書同M·克萊因的名著《古今數學思想》有某種親緣的關係。但從20世紀數學發展和數學思想、數學史研究的現狀來說，現在對20世紀數學思想和數學史的研究還根本無法做到像《古今數學思想》那樣的歷史論述和分析。《20世紀數學思想》的一個突出特點，是在研究的定位上進行了一個有益的嘗試，即與數學專著的內容（定理和證明）相互補充，粗線條地描繪了20世紀數學的歷史圖景。

二

20世紀數學的發展變化呈現出如下的特點：（1 ）數學的研究對象遠遠超出經典數學的範圍，日益顯示出越來越複雜的多樣性。（2 ）結構數學像一條紅線，貫穿在20世紀數學發展的過程中，形成現代數學統一性特徵的核心。（3）抽象化、概念化的數學非但沒有各自為政，互不關聯，反而使得大量意想不到的關係不斷湧現，給各種問題的解決提供了新的有力工具，特別是為解決經典問題打開了智慧之門。（4 ）高度的抽象的數學非但沒有脫離實際，而且有著不可思議的應用價值。面對複雜多樣的20世紀數學，給予全面介紹和總結是不可能的，《20世紀數學思想》不能也不打算概括整個數學。結構數學是20世紀的主流，這正如德國大數學家希爾伯特指出的：“數學，它的生命力在於各部分之間的聯繫。”因此，本書主要介紹20世紀數學的主流——結構數學的來龍去脈、主要問題、中心定理以及方方面面的聯繫。

僅就20世紀的結構數學而言，門類繁多，內容廣泛，如果全面介紹，哪怕是只列舉出學科名稱都十分困難。所以本書在介紹了結構數學的基本概念和基本框架后，重點介紹了群論、拓撲學和結構數學在幾何學與數論方面的應用。

儘管19世紀的數學已經產生了結構數學的萌芽，但是作為結構數學的對象並沒有系統地產生。它們與傳統的對象相比具有異質的特點。簡而言之，經典對象是一個一個的，而結構首先是以集合為基礎的。經典對象研究一些對象的一般的或特殊的性質，而結構對象研究結構關係，因此結構對象的產生首先仰賴於集合的產生以及公理化定義方法和結構的觀念。結構反映了一個事物與其他事物之間的關係，其局部與整體的關係，或幾種事物之間的相互關係。數學結構的概念無非是這種樸素觀念的抽象，它經過了漫長的發展過程，最後由布爾巴基學派確定為整個數學的基礎。20世紀數學的主流——結構數學是研究抽象數學結構的科學。它是在集合論的基礎上，由傳統的數學對象與數學方法中產生一批抽象的結構，這些結構大都可以通過公理方法來定義，形成自己的問題和理論體系，並且衍生出一套相關的結構及理論。本書在介紹了數學結構、集合與映射、序結構、代數結構、拓撲結構、複合結構、多重結構、混合結構、衍生結構等數學結構的基本概念之後，又介紹了城、拓撲空間、點集綱性與測度、希爾伯特空間、巴拿赫空間等一些基本的數學結構。

群是抽象元素組成的集合，它在結構數學中具有典型的意義。一方面群在數學中處於中心地位，同數學有著方方面面的聯繫，另一方面群是數學統一性的象徵。所以本書用近四分之一的篇幅來討論群的理論。群既不是數量關係，也不是空間形式，如果不是數學家經年累月的努力，要想抽象出“群”這種深藏不露的概念是極為困難的。正因為如此，雖然群有著極為實際的背景，對於只有通常數學知識的人來說，往往感到研究這種純而又純的對象，只不過是一種高級的智力遊戲。實際情況與這種想法恰恰相反，群的觀念在科學技術中是大有用武之地的。可以說，沒有群，許多先進的科學就無法實現。遠的不說，沒有群，就沒有結晶學的晶體分類，也不會有對原子、分子結構的認識和對光譜的解釋。核物理和粒子物理更是伴隨群論的應用而發展起來的。沒有群，對於基本粒子的相互作用與分類研究不可想像。群幫助我們認識自然、了解自然。而群的概念的創造甚至許多應用似乎應歸功於數學家。一旦像群這樣精闢的概念創造出來，數學就顯示出無窮的生命力。本書追溯了群論的歷史發展，考察了群論的理論框架，介紹了阿貝爾群、有限置換群、有限群、無限群、李群、代數群等。

拓撲學是研究圖形的拓撲性質，也就是圖形在經過連續變換下，保持不變的性質。正如群論不僅研究群的結構而且研究群與群之間的映射一樣，拓撲學作為一門結構數學，不僅研究圖形的拓撲性質，同時也研究圖形與圖形之間的各種映射。本書著重介紹了同調理論、同倫理論、纖維空間和纖維叢、微分流形、低維流形、範疇與函子、同調代數學等拓撲理論。

任何數學，包括結構數學有獨立存在意義和價值，並不在於它提出一套理論，而在於它提供理解數學及其他科學的框架，創造聯繫各學科的紐帶，提出解決經典問題的方法。只有這樣，才能顯示出它的威力。當然，結構數學從一出現，就產生了大量本學科的問題。重要的是，它的確能解決用經典方法解決不了的經典問題，大大擴展了數學對象的範圍。單是這一點已足以顯示其優越性。但更重要的是，它成為引導我們進一步統一數學、發展數學的指路明燈，因為未來的數學發展中主要不再是幾個孤立的經典難題在推動，而是系統的發展理論，提出各種層次的問題並求得其解決，並在解決的過程中加深對整個數學的理解。這樣它推動整個數學走向無盡的前沿，使數學將成為越來越宏偉、越來越統一的建築

三

《20世紀數學思想》在總體上體現出縱向與橫向相結合、歷史與邏輯相統一的科學的研究風格。在縱向上有歷史的繼承，有數學理論在不同年代的發展；從橫向看，有點、有面，有人物、有理論的展開，有理論的應用，有概括、有評價。既揭示出了數學思想的來龍去脈，又突出了數學家的重要成果、重要貢獻，還反映了數學家的工作情況。

本書有很強的歷史感。沿著時間的線索，它探索20世紀數學理論發展的源流。20世紀的數學不是從零開始的，它根植於過去數學的土壤之中。一些新概念、新思想的發生離不開舊的思想方法，特別是結構數學大都在19世紀的數學當中已有萌芽。所以本書用一定的篇幅回顧了19世紀數學的遺產。在歷史的繼承中，在數學思想與數學實踐活動的矛盾以及數學思想本身的矛盾運動中，探討數學問題的不斷解決，揭示數學思想的不斷發展。例如，公理化方法是古希臘數學家歐幾里得首創的，他在《幾何原本》一書中運用了亞里士多德的邏輯方法，按照公理化結構把零散的幾何知識整理成一個完整的邏輯體系，對數學的發展有著巨大的影響。但是，歐氏幾何的公理體系存在著許多問題，特別是它的第五公設並不是顯然自明的。人們對於第五公設的研究，不僅導致了後來非歐幾何的產生，而且推動了實體公理化方法向形式公理化方法的發展。19世紀末，希爾伯特提出並解決了公理系統的相容性、獨立性和完備性等三個重要問題，從而把公理化方法推進到形式化公理方法的新階段。隨著人們對數理邏輯研究的深入，現代公理方法正向著更加形式和精確化的方向發展，成為結構數學的重要基礎。可見，現代公理化方法是在舊理論的基礎上演變而來和在本身的矛盾運動中逐漸發展和完善起來的。又如，群論概念的產生，群的概念是形的對稱性的抽象結果，當我們從各種對象中發現對稱性之後，就逐步引出具體的群。由於對象千變萬化，我們難以發現它們結構之間的類似之處。因此，就需要駁去各種對象表層的外衣，抓住本質的結構，對它們進行比較，這樣我們就從具體的群走向抽象的群。那麼在這一過程中，群論是如何具體發展的？有哪些數學家在其中發揮了重要作用？本書在歷史與邏輯的統一中引人入勝地展開筆墨。

數學史是數學家的歷史。整個數學大廈的幾塊基石（即一些最重要的數學概念、數學思想），是由為數不多的數學家提出的。他們像是戲劇中的幾位主角。17、18世紀的主角是笛卡爾、牛頓、萊布尼茨、歐拉和拉格朗日。19世紀的主角是高斯、黎曼、羅巴切夫斯基、阿貝爾、伽羅瓦、柯西、傅利葉和魏爾斯特拉斯等人，一直到結構數學的先驅康托爾和戴德金。在龐加萊、希爾伯特之後，20世紀最偉大的數學家非外爾莫屬。他不僅為我們留下了許多數學成果和數學方法，而且對於他親歷的20世紀前半期的數學，進行了客觀而中肯的評價。還有大數學家馮·諾伊曼，當然他更以計算機的開創者、應用數學家而知名。但是，這位全才的數學家對於結構數學依然有重大貢獻，他的思想仍然領先於他的時代。正是上面的四位數學巨人，再加上嘉當、愛米·諾特、哥德爾、維納等大數學家，以及法國的函數論學派、俄國—蘇聯學派、波蘭學派，最後由布爾巴基學派集其大成，20世紀的數學最終走上自己的輝煌歷程。這生動地說明個人的創造性在人類文明歷史中的突出地位。在這個意義上，我們不妨想想叔本華的見解：大思想家們是人類的燈塔，如果沒有他們，人類就要流落在迷茫無際的大海里。因此，對於試圖研究20世紀數學史的學者，與其在數學汪洋大海中盲目探索，還不如暫時接受一些大數學家的方向引導，找出20世紀數學發展的主線，對數學有一個整體的認識，然後旁及其他，逐步深入。這正是本書作者在確定20世紀的數學框架時所採用的一個比較妥當的方法。只有在我們能夠駕馭整個局勢時，我們再對他們進行批判也不為晚。

除此之外，《20世紀數學思想》涉及的數學家有幾百個。所以，閱讀本書使人有一種深切的感受，就是後人是站在前人的肩膀上的，20世紀數學的輝煌大廈是數學家們共同建造的。一些重要數學概念是在哪一年提出的，一些新理論是怎樣突破的，是由哪位數學家在什麼論著中提出或突破的，數學家的外文原名，生卒年月等，本書都有詳實的介紹，並對數學家的工作在整個數學發展中的意義給予了應有的評價。

20世紀的數學，內容龐雜，高度抽象。但本書思路清晰，重點突出，敘評結合，語言生動。例如，對拓撲學的闡釋從直觀拓撲學中的哥尼斯堡七橋問題入手，使本書具有了平實的親切感。又如在介紹二維複流形的內在定義時，舉了自行車內胎出現破洞及用補丁補破洞的簡單例子。通過事例，使人們理解二維複流形的內在定義及黎曼、龐加萊深刻的數學思想。

《20世紀數學思想》粗線條地介紹和總結了20世紀數學思想的歷史演進，而對細節不可能給出面面俱到的論述。此外，雖然說20世紀數學的主流是結構數學，但是它並不能覆蓋所有的數學。應當指出，隨著時間的推移，人們對20世紀數學思想、數學史的研究會更加深入，對20世紀數學的規律性會有更清晰的認識。那時，20世紀數學思想、數學史的研究將對21世紀數學的發展和繁榮起到更大的促進作用。

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