小學數學概念

小學數學中有很多概念，包括：數的概念、運算的概念、量與計量的概念、幾何形體的概念、比和比例的概念、方程的概念，以及統計初步知識的有關概念等。這些概念是構成小學數學基礎知識的重要內容，它們是互相聯繫著的。如只有明確牢固地掌握數的概念，才能理解運算概念，而運算概念的掌握，又能促進數的整除性概念的形成。在數學科學中，數學概念的含義都要給出精確的規定，因而數學概念比一般概念更準確。

在小學數學教材中的概念，根據小學生的接受能力，表現形式各不相同，其中描述式和定義式是最主要的兩種表示方式。

定義式是用簡明而完整的語言揭示概念的內涵或外延的方法，具體的做法是用原有的概念說明要定義的新概念。這些定義式的概念抓住了一類事物的本質特徵，揭示的是一類事物的本質屬性。這樣的概念，是在對大量的探究材料的分析、綜合、比較、分類中，使之從直觀到表象、繼而上升為理性的認識。如“有兩條邊相等的三角形叫等腰三角形”；“含有未知數的等式叫方程”等等。這樣定義的概念，條件和結論十分明顯，便於學生一下子抓住數學概念的本質。

用一些生動、具體的語言對概念進行描述，叫做描述式。這種方法與定義式不同，描述式概念，一般藉助於學生通過感知所建立的表象，選取有代表性的特例做參照物而建立。如：“我們在數物體的時候，用來表示物體個數的1、2、3、4、5……叫自然數”；“象1.25、0.726、0.005等都是小數”等。這樣的概念將隨著兒童知識的增多和認識的深化而日趨完善，在小學數學教材中一般用於以下兩種情況。

一種是對數學中的點、線、體、集合等原始概念都用描述法加以說明。例如，“直線”這一概念，教材是這樣描述的：拿一條直線，把它拉緊，就成了一條直線。“平面”就用“課桌面”、“黑板面”、“湖面”來說明。

另一種是對於一些較難理解的概念，如果用簡練、概括的定義出現不易被小學生理解，就改用描述式。例如，對直圓柱和直圓錐的認識，由於小學生還缺乏運動的觀點，不能像中學生那樣用旋轉體來定義，因此只能通過實物形象地描述了它們的特徵，並沒有以定義的形式揭示它們的本質屬性。學生在觀察、擺拼中，認識到圓柱體的特徵是上下兩個底面是相等的圓，側面展開的形狀是長方形。

一般來說，在數學教材中，小學低年級的概念採用描述式較多，隨著小學生思維能力的逐步發展，中年級逐步採用定義式，不過有些定義只是初步的，是有待發展的。在整個小學階段，由於數學概念的抽象性與學生思維的形象性的矛盾，大部分概念沒有下嚴格的定義。

首先，數學概念是數學基礎知識的重要組成部分。

小學數學的基礎知識包括：概念、定律、性質、法則、公式等，其中數學概念不僅是數學基礎知識的重要組成部分，而且是學習其他數學知識的基礎。學生掌握基礎知識的過程，實際上就是掌握概念並運用概念進行判斷、推理的過程。數學中的法則都是建立在一系列概念的基礎上的。事實證明，如果學生有了正確、清晰、完整的數學概念，就有助於掌握基礎知識，提高運算和解題技能。相反，如果一個學生概念不清，就無法掌握定律、法則和公式。例如，整數百以內的筆算加法法則為：“相同數位對齊，從個位加起，個位滿十，就向十位進一。”要使學生理解掌握這個法則，必須事先使他們弄清“數位”、“個位”、“十位”、“個位滿十”等的意義，如果對這些概念理解不清，就無法學習這一法則。又如，圓的面積公式，要以“圓”、“半徑”、“平方”、“圓周率”等概念為基礎。總之小學數學中的一些概念對於今後的學習而言，都是一些基本的、基礎的知識。小學數學是一門概念性很強的學科，也就是說，任何一部分內容的教學，都離不開概念教學。

其次，數學概念是發展思維、培養數學能力的基礎。

概念是思維形式之一，也是判斷和推理的起點，所以概念教學對培養學生的思維能力能起重要作用。沒有正確的概念，就不可能有正確的判斷和推理，更談不上邏輯思維能力的培養。例如，“含有未知數的等式叫做方程”，這是一個判斷。在這個判斷中，學生必須對“未知數”、“等式”這幾個概念十分清楚，才能形成這個判斷，並以此來推斷出下面的6道題目，哪些是方程。

(1)(2)(3)

(4)(5)(6)

在概念教學過程中，為了使學生順利地獲取有關概念，常常要提供豐富的感性材料讓學生觀察，在觀察的基礎上通過教師的啟發引導，對感性材料進行比較、分析、綜合，最後再抽象概括出概念的本質屬性。通過一系列的判斷、推理使概念得到鞏固和運用。從而使學生的初步邏輯思維能力逐步得到提高。

1．使學生準確理解概念

理解概念，一要能舉出概念所反映的現實原型，二要明確概念的內涵與外延，即明確概念所反映的一類事物的共同本質屬性，和概念所反映的全體對象，三要掌握表示概念的詞語或符號。

2．使學生牢固掌握概念

掌握概念是指要在理解概念的基礎上記住概念，正確區分概念的肯定例證和否定例證。能對概念進行分類，形成一定的概念系統。

3．使學生能正確運用概念

概念的運用主要表現 在學生能在不同的具體情況下，辨認出概念的本質屬性，運用概念的有關屬性進行判斷推理。

小學數學概念教學的過程

根據數學概念學習的心理過程及特徵，數學概念的教學一般也分為三個階段：①引入概念，使學生感知概念，形成表象；②通過分析、抽象和概括，使學生理解和明確概念；③通過例題、習題使學生鞏固和應用概念。

（一）數學概念的引入

數學概念的引入，是數學概念教學的第一個環節，也是十分重要的環節。概念引入得當，就可以緊緊地圍繞課題，充分地激發起學生的興趣和學習動機，為學生順利地掌握概念起到奠基作用。

引出新概念的過程，是揭示概念的發生和形成過程，而各個數學概念的發生形成過程又不盡相同，有的是現實模型的直接反映；有的是在已有概念的基礎上經過一次或多次抽象后得到的；有的是從數學理論發展的需要中產生的；有的是為解決實際問題的需要而產生的；有的是將思維對象理想化，經過推理而得；有的則是從理論上的存在性或從數學對象的結構中構造產生的。因此，教學中必須根據各種概念的產生背景，結合學生的具體情況，適當地選取不同的方式去引入概念。一般來說，數學概念的引入可以採用如下幾種方法。

1、以感性材料為基礎引入新概念。

用學生在日常生活中所接觸到的事物或教材中的實際問題以及模型、圖形、圖表等作為感性材料，引導學生通過觀察、分析、比較、歸納和概括去獲取概念。

例如，要學習“平行線”的概念，可以讓學生辨認一些熟悉的實例，像鐵軌、門框的上下兩條邊、黑板的上下邊緣等，然後分化出各例的屬性，從中找出共同的本質屬性。鐵軌有屬性：是鐵制的、可以看成是兩條直線、在同一個平面內、兩條邊可以無限延長、永不相交等。同樣可分析出門框和黑板上下邊的屬性。通過比較可以發現，它們的共同屬性是：可以抽象地看成兩條直線；兩條直線在同一平面內；彼此間距離處處相等；兩條直線沒有公共點等，最後抽象出本質屬性，得到平行線的定義。

以感性材料為基礎引入新概念，是用概念形成的方式去進行教學的，因此教學中應選擇那些能充分顯示被引入概念的特徵性質的事例，正確引導學生去進行觀察和分析，這樣才能使學生從事例中歸納和概括出共同的本質屬性，形成概念。

2、以新、舊概念之間的關係引入新概念。

如果新、舊概念之間存在某種關係，如相容關係、不相容關係等，那麼新概念的引入就可以充分地利用這種關係去進行。

例如，學習“乘法意義”時，可以從“加法意義”來引入。又如，學習“整除”概念時，可以從“除法”中的“除盡”來引入。又如，學習“質因數”可以從“因數”和“質數”這兩個概念引入。再如，在學習質數、合數概念時，可用約數概念引入：“請同學們寫出數1，2，6，7，8，12，11，15的所有約數。它們各有幾個約數？你能給出一個分類標準，把這些數進行分類嗎？你能找出多種分類方法嗎？你找出的所有分類方法中，哪一種分類方法是最新的分類方法？”

3、以“問題”的形式引入新概念。

以“問題”的形式引入新概念，這也是概念教學中常用的方法。一般來說，用“問題”引入概念的途徑有兩條：①從現實生活中的問題引入數學概念；②從數學問題或理論本身的發展需要引入概念。

例如，在學習“平均數”時，教師可以先向學生呈現一個“幼兒園小朋友爭拿糖果”的生活情境，讓學生思考，為什麼有的小朋友很高興，有的小朋友很不高興？應該怎樣做才能使大家都高興？接下來應該怎麼做？這個幼兒園的老師可能會怎麼做？

4、從概念的發生過程引入新概念。

數學中有些概念是用發生式定義的，在進行這類概念的教學時，可以採用演示活動的直觀教具或演示畫圖說明的方法去揭示事物的發生過程。例如，小數、分數等概念都可以這樣引入。這種方法生動直觀，體現了運動變化的觀點和思想，同時，引入的過程又自然地、無可辯駁地闡明了這一概念的客觀存在性。

（二）小學數學概念的形成 引入概念，僅是概念教學的第一步，要使學生獲得概念，還必須引導學生準確地理解概念，明確概念的內涵與外延，正確表述概念的本質屬性。為此，教學中可採用一些具有針對性的方法。

1、對比與類比。

對比概念，可以找出概念間的差異，類比概念，可以發現概念間的相同或相似之處。例如，學習“整除”概念時，可以與“除法”中的“除盡”概念進行對比，去比較發現兩者的不同點。用對比或類比講述新概念，一定要突出新、舊概念的差異，明確新概念的內涵，防止舊概念對學習新概念產生的負遷移作用的影響。

2、恰當運用反例。

概念教學中，除了從正面去揭示概念的內涵外，還應考慮運用適當的反例去突出概念的本質屬性，尤其是讓學生通過對比正例與反例的差異，對自己出現的錯誤進行反思，更利於強化學生對概念本質屬性的理解。

用反例去突出概念的本質屬性，實質是使學生明確概念的外延從而加深對概念內涵的理解。凡具有概念所反映的本質屬性的對象必屬於該概念的外延集，而反例的構造，就是讓學生找出不屬於概念外延集的對象，顯然，這是概念教學中的一種重要手段。但必須注意，所選的反例應當恰當，防止過難、過偏，造成學生的注意力分散，而達不到突出概念本質屬性的目的。

3、合理運用變式。

依靠感性材料理解概念，往往由於提供的感性材料具有片面性、局限性，或者感性材料的非本質屬性具有較明顯的突出特徵，容易形成干擾的信息，而削弱學生對概念本質屬性的正確理解。因此，在教學中應注意運用變式，從不同角度、不同方面去反映和刻畫概念的本質屬性。一般來說，變式包括圖形變式、式子變式和字母變式等。

例如，講授“等腰三角形”概念，教師除了用常見的圖形(圖6-1(1))展示外，還應採用變式圖形(圖6-1(2)、(3)、(4))去強化這一概念，因為利用等腰三角形的性質去解題時，所遇見的圖形往往是後面幾種情形。

（三）小學數學概念的鞏固

為了使學生牢固地掌握所學的概念，還必須有概念的鞏固和應用過程。教學中應注意如下幾個方面。

1、注意及時複習

概念的鞏固是在對概念的理解和應用中去完成和實現的，同時還必須及時複習，鞏固離不開必要的複習。複習的方式可以是對個別概念進行複述，也可以通過解決問題去複習概念，而更多地則是在概念體系中去複習概念。當概念教學到一定階段時，特別是在章節末複習、期末複習和畢業總複習時，要重視對所學概念的整理和系統化，從縱向和橫向找出各概念之間的關係，形成概念體系。

2、重視應用

在概念教學中，既要引導學生由具體到抽象，形成概念，又要讓學生由抽象到具體，運用概念，學生是否牢固地掌握了某個概念，不僅在於能否說出這個概念的名稱和背誦概念的定義，而且還在於能否正確靈活地應用，通過應用可以加深理解，增強記憶，提高數學的應用意識。

概念的應用可以從概念的內涵和外延兩方面進行。

（1）概念內涵的應用

①複述概念的定義或根據定義填空。

②根據定義判斷是非或改錯。

③根據定義推理。

④根據定義計算。

例4（1）什麼叫互質數？答：是互質數。

（2）判斷題：

27和20是互質數（）

34與85是互質數（）

有公約數1的兩個數是互質數（）

兩個合數一定不是互質數（）

（3）鈍角三角形的一個角是82o，另兩個角的度數是互質數，這兩個角可能是多少度？

（4）如果P是質數，那麼比P小的自然數都與P互質。這句話對嗎？請說明理由？

2．概念外延的應用

（1）舉例

（2）辨認肯定例證或否定例證。並說明理由。

（3）按指定的條件從概念的外延中選擇事例。

（4）將概念按不同標準分類。

例5（1）列舉你所見到過的圓柱形物體。

（2）下列圖形中的陰影部分，哪些是扇形？（圖6－2）

圖6—2

（3）分母是9的最簡真分數有_分子是9的假分數中，最小的一個是

（4）將自然數2－19按不同標準分成兩類（至少提出3種不同的分法）

概念的應用可分為簡單應用和綜合應用，在初步形成某一新概念后通過簡單應用可以促進對新概念的理解，綜合應用一般在學習了一系列概念后，把這些概念結合起來加以應用，這種練習可以培養學生綜合運用知識的能力。

(三)注意辨析

隨著學習的深入，學生掌握的概念不斷增多，有些概念的文字表述相同，有些概念內涵相近，使得學生容易產生混淆，如質數與互質數，整除與除盡，體積與容積等等。因此在概念的鞏固階段，要注意組織學生運用對比的方法，弄清易混淆概念的區別和聯繫，以促使概念的精確分化。

例6關於面積和周長，可組織學生從下列幾個方面進行對見

(1)什麼叫做長方形的周長？什麼叫做長方形的面積？

（2）周長和面積常用的計量單位分別有哪些？

（3）在圖6—3中，A，B兩個圖形的周長相等嗎？面積相等嗎？

圖6—4

圖6—3

（4）圖6—4中的每一小方格代表一平方厘米，這個圖的面積是，周長是，剪一刀，然後將它拼成一個正方形，這個正方形的周長是，面積是。

數學概念是用詞或片語來表達的，但有些詞語受日常用語的影響，會給學生造成認識和理解上的錯覺和障礙。如幾何知識中的高”、“底”、“腰”等概念，從字面上容易使學生產生“鉛垂方向”與“下方”、“兩側”的錯覺。而“倒數”則強化了分子與分母顛倒位置的直觀認識，弱化了“兩個數的乘積等於1”的本質屬性，因此在教學時，要幫助學生分清一些詞的日常意義和專門的數學意義，正確地理解表示概念的詞語，從而準確地掌握概念。

1、把握概念教學的目標，處理好概念教學的發展性與階段性之間的矛盾。

概念本身有自己嚴密的邏輯體系。在一定條件下，一個概念的內涵和外延是固定不變的，這是概念的確定性。由於客觀事物的不斷發展和變化，同時也由於人們認識的不斷深化，因此，作為人們反映客觀事物本質屬性的概念，也是在不斷發展和變化的。但是，在小學階段的概念教學，考慮到小學生的接受能力，往往是分階段進行的。如對“數”這個概念來說，在不同的階段有不同的要求。開始只是認識1、2、3、……，以後逐漸認識了零，隨著學生年齡的增大，又引進了分數(小數)，以後又逐漸引進正、負數，有理數和無理數，把數擴充到實數、複數的範圍等。又如，對“0”的認識，開始時只知道它表示沒有，然後知道又可以表示該數位上一個單位也沒有，還知道“0”可以表示界限等。

因此，數學概念的系統性和發展性與概念教學的階段性成了教學中需要解決的一對矛盾。解決這一矛盾的關鍵是要切實把握概念教學的階段性目標。

為了加強概念教學，教師必須認真鑽研教材，掌握小學數學概念的系統，摸清概念發展的脈絡。概念是逐步發展的，而且諸概念之間是互相聯繫的。不同的概念具體要求會有所不同，即使同一概念在不同的學習階段要求也有差別。

有許多概念的含義是逐步發展的，一般先用描述方法給出，以後再下定義。例如，對分數意義理解的三次飛躍。第一次是在學習小數以前，就讓學生初步認識了分數，“像上面講的、、、、、等，都是分數。”通過大量感性直觀的認識，結合具體事物描述什麼樣的是分數，初步理解分數是平均分得到的，理解誰是誰的幾分之幾。第二次飛躍是由具體到抽象，把單位“1”平均分成若干份，表示其中的一份或幾份都可以用分數來表示。從具體事物中抽象出來。然後概括分數的定義，這只是描述性地給出了分數的概念。這是感性的飛躍。第三次飛躍是對單位“1”的理解與擴展，單位“1”不僅可以表示一個物體、一個圖形、一個計量單位，還可以是一個群體等，最後抽象出，分誰，誰就是單位“1”，這樣單位“1”與自然數“1”的區別就更加明確了。這樣三個層次不是一蹴而就的，要展現知識的發展過程，引導學生在知識的發生髮展過程中去理解分數。

再如長方體和立方體的認識在許多教材中是分成兩個階段進行教學的。在低年級，先出現長方體和立方體的初步認識，通過讓學生觀察一些實物及實物圖，如裝墨水瓶的紙盒、魔方等。積累一些有關長方體和立方體的感性認識，知道它們各是什麼形狀，知道這些形狀的名稱。然後，通過操作、觀察，了解長方體和立方體各有幾個面，每個面是什麼形狀，進一步加深對長方體和立方體的感性認識。再從實物中抽象出長方體和立方體的圖形(並非透視圖)。但這一階段的教學要求只要學生知道長方體和立方體的名稱，能夠辨認和區分這些形狀即可。僅僅停留在感性認識的層次上。第二階段是在較高年級。教學時仍要從實例引入。教學長方體的認識時，先讓學生收集長方體的物體，教師先說明什麼是長方體的面、棱和頂點，讓學生數一數面、棱和頂點各自的數目，量一量棱的長度，算一算各個面的大小，比較上下、左右、前後棱和面的關係和區別。然後歸納出長方體的特徵。再從長方體的實例中抽象出長方體的幾何圖形。進而可以讓學生對照實物，觀察圖形，弄清楚不改變觀察方向，最多可以看到幾個面和幾條棱。哪些是看不見的，圖中是怎樣來表示的。還可以讓學生想一想，看一看，逐步看懂長方體的幾何圖形，形成正確的表象。

在把握階段性目標時，應注意以下幾點：

(1)在每一個教學階段，概念都應該是確定的，這樣才不致於造成概念混亂的現象。有些概念不嚴格下定義，但也要依據學生的接受能力，或者用描述代替定義，或者用比較通俗易懂的語言揭示概念的本質特徵。同時注意與將來的嚴格定義不矛盾。

(2)當一個教學階段完成以後，應根據具體情況，酌情指出概念是發展的，不斷變化的。如：有一位學生在認識了長方體之後，認為課本中的任何一張紙的形狀也是長方體的。說明該學生對長方體的概念有了更進一步的理解，教師應加以肯定。

(3)當概念發展后，教師不但指出原來概念與發展后概念的聯繫與區別，以便學生掌握，而且還應引導學生對有關概念進行研究，注意其發展變化。如“倍”的概念，在整數範圍內，通常所指的是，如果把甲量當作1份，而乙量有這樣的幾份，那麼乙量就是甲量的幾倍。在引入分數以後，“倍”的概念發展了，發展后的“倍”的概念，就包含了原來的“倍”的概念。如果把甲量當作l份，乙量也可以是甲量的幾分之幾。

因此，在數學概念教學中，要搞清概念之間的順序，了解概念之間的內在聯繫。數學概念隨著客觀事物本身的發展變化和研究的深入不斷地發展演變。學生對數學概念的認識，也需要隨著數學學習的程度的提高，由淺入深，逐步深化。教學時既要注意教學的階段性，不能把後面的要求提到前面，超越學生的認識能力；又要注意教學的連續性，教前面的概念要留有餘地，為後繼教學打下埋伏。從而處理好掌握概念的階段性與連續性的關係。

2、加強直觀教學，處理好具體與抽象的矛盾

儘管教材中大部分概念沒有下嚴格的定義，但對於小學生來說，數學概念還是抽象的。他們形成數學概念，一般都要求有相應的感性經驗為基礎，而且要經歷一番把感性材料在腦子裡來回往複，從模糊到逐漸分明，從許多有一定聯繫的材料中，通過自己操作、思維活動逐步建立起事物一般的表象，分出事物的主要的本質特徵或屬性，這是形成概念的基礎。因此，在教學中，必須加強直觀，以解決數學概念的抽象性與學生思維形象性之間的矛盾。

（1）通過演示、操作進行具體與抽象的轉化

教學中，對於一些相對抽象的內容，儘可能地利用恰當的演示或操作使其轉化為具體內容，然後在此基礎上抽象出概念的本質屬性。

幾何初步知識，無論是線、面、體的概念還是圖形特徵、性質的概念都非常抽象，因此，教學中更要加強演示、操作，通過讓學生量一量、摸一摸、擺一擺、拼一拼來讓學生體會這些概念，從而抽象出這些概念。

例如“圓周率”這一概念非常抽象，有的教師在課前，布置每個學生用硬紙製做一個圓，半徑自定。上課時，就讓每個學生在課堂作業本上寫出三個內容：(1)寫出自己做的圓的直徑；(2)滾動自己的圓，量出圓滾動一周的長度，寫在練習本上；(3)計算圓的周長是直徑的幾倍。全班同學做完后，要求每個同學彙報自己計算的結果，並把結果整理成下表。

圓直徑(厘米)圓的周長(厘米)周長是直徑的幾倍

A26.23.1

B39.63.2

C412.63.15

D515.73.14

然後引導學生分析發現：不管圓的大小，它的周長總是直徑的3倍多一點。這時再揭示：這個倍數是個固定的數，數學上叫做圓周率。再讓學生任意畫一個圓，量出直徑和周長加以驗證。這樣，引導學生把大量的感性材料，加以分析、綜合、抽象、概括，拋棄事物的非本質屬性(如圓的大小、測量時用的單位等)，抓住事物的本質特徵(圓的周長總是直徑的3倍多一點)，形成了概念。

這樣教師藉助於直觀教學，運用學生原有的一些基礎知識，逐步抽象，環環緊扣，層次清楚。通過實物演示，使學生建立表象，從而解決了數學知識的抽象性與兒童思維的形象性的矛盾。

（2）結合學生的生活實際進行具體與抽象的轉化

教學中有許多數量關係都是從具體生活內容中抽象出來的，因此，在教學中應該充分利用學生的生活實際，運用恰當的方式進行具體與抽象的轉化，即把抽象的內容轉化為學生的具體生活知識，在此基礎上又將其生活知識抽象為教學內容。

例如乘法交換律的教學，往往讓學生先解答這樣的習題：一種鋼筆，每盒10支，每支3元，買2盒鋼筆要多少元？學生在實際解答中發現，這道題可以有兩種解答思路，一種是先求出“每盒多少元”，再求出“2盒要多少元”，算式是元；另一種是先求出“一共有多少支鋼筆”，再求出“2盒多少元”，算式是元。乘法分配律的教學也是讓學生解答類似的問題，如：一件上衣50元，一條褲子30元，買這樣的5套衣服需要多少元？這樣藉助於學生熟悉的生活情景，使抽象的問題變得具體化。

同樣常見數量關係中的單價、總價與數量之間的關係；路程、速度與時間的關係，工作量、工作效率與工作時間之間的關係等，都應結合學生的生活經驗，通過具體的題目將其抽象出來，然後又利用這些關係來分析解決問題。這樣的訓練有利於使學生的思維逐漸向抽象思維過渡，逐步緩解知識的抽象性與學生思維的具體形象性的矛盾。

但是，運用直觀並不是目的，它只是引起學生積極思維的一種手段。因此概念教學不能只停留在感性認識上，在學生獲得豐富的感性認識后，要對所觀察的事物進行抽象概括，揭示概念的本質屬性，使認識產生飛躍，從感性上升到理性，形成概念。

3、遵循小學生學習概念的特點，組織合理有序的教學過程

儘管小學生獲取概念有概念形成和概念同化這兩種基本形式，各類概念的形成又有各自的特點，但不管以何種方式獲得概念，一般都會遵循從“引入一理解一鞏固一深化”這樣的概念形成路徑。下面就概念教學中每個環節的教學策略及應注意的問題作一闡述。

（1）概念的引入要注重提供豐富而典型的感性材料

在概念引入的過程中，要注意使學生建立起清晰的表象。因為建立能突出事物共性的、清晰的典型表象是形成概念的重要基礎，因此，在小學數學的概念教學中，無論以什麼方式引入概念，都應考慮如何使小學生在頭腦中建立起清晰的表象。概念教學一開始，應根據教學內容運用直觀手段向學生提供豐富而典型的感性材料，如採用實物、模型、掛圖，或進行演示，引導學生觀察，並結合實驗，讓學生自己動手操作，以便讓學生接觸有關的對象，豐富自己的感性認識。

如在一節教學分數的意義的課上，一位教師為了突破單位“l”這一教學難點，事先向學生提供了各種操作材料：一根繩子，4隻蘋果圖，6隻熊貓圖，一張長方形紙，l米長的線段等，通過比較、歸納出：一個物體、一個計量單位、一個整體都可以用單位“1”表示，從而突破理解單位“1”這一難點，為理解分數的意義奠定了基礎。

但概念引入時所提供的材料要注意三點：一是所選材料要確切。例如角的認識，小學里講的角是平面角，可以讓學生觀察黑板、書面等平面上的角。有的教師讓學生觀察教室相鄰兩堵牆所夾的角，那是兩面角，對於小學教學要求來說，就不確切了。二是所選材料要突出所授知識的本質特徵。例如直角三角形的本質特徵是“有一個角是直角的三角形”，至於這個直角是三角形中的哪一個角，直角三角形的大小、形狀，則是非本質的。因此教學時應出示不同的圖形，使學生在不同的圖形中辨認其不變的本質屬性。

（2）概念的理解要注重正反例證的辨析，突出概念的本質屬性

概念的理解是概念教學的中心環節，教師要採取一切手段幫助學生逐步理解概念的內涵和外延，以便讓學生在理解的基礎上掌握概念。促進對概念理解的途徑有：

1）剖析概念中關鍵詞語的真實含義

例如，分數定義中的單位“1”、“平均分”、“表示這樣的一份或幾份的數”，學生只有對這些關鍵詞語的真實含義弄清楚了，才會對分數的概念有了深刻的理解。再如教學“整除”概念之後應幫助學生從以下三方面進行判斷，一是判斷是否具有“整除”關係的兩個數都必須是自然數；二是這兩個數相除所得的商是整數；三是沒有餘數。對定義的分析是幫助學生認識概念的又一次提高。三角形的高的定義:“從三角形的一個頂點到它的對邊作一條垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高，這條邊叫做三角形的底。”這裡的“一個頂點”、“垂線”、“垂足”都是一些關鍵詞語。為了讓學生理解三角形的高，除了讓學生理解字面意思外，往往還需要學生通過實際操作，體會畫“高”的全過程。指出畫“高”的關鍵是畫垂線，並注意限制條件：“過三角形的一個頂點(可以是任何一個頂點)，作到它對邊的垂線，頂點和垂足之間的線段”。這樣把實際操作的過程和所畫的三角形高的圖形與定義所敘述的內容對照，使學生準確地理解三角形的高的定義。這實際上是在數學概念建立后，幫助學生對本質屬性進行剖析，既將本質屬性再次從定義中分離出來，加以明確。

2）辨析概念的肯定例證和否定例證

學生能背誦概念並不等於真正理解概念，還要通過實例突出概念的主要特徵，幫助他們加深對概念的理解。教師不僅要充分運用肯定例證來幫助學生理解概念的內涵，同時要及時運用否定例證來促進學生對概念的辨析。在概念揭示后往往要針對教學要求組織學生進行一些練習，如教完三角形按角分類后，可以出示：一個三角形不是直角三角形，並且有兩個角是銳角，這個三角形一定是銳角三角形。讓學生進行判斷，引起學生討論來鞏固三角形的分類，以深化對三角形這一概念的外延的進一步認識。再如，小數的性質揭示后，可以讓學生判斷0.40、0.030、20.020、2.800、10.404、5.0000各數，哪些“0”可以去掉，哪些“0”不能去掉？從而加深學生對小數性質的理解。

3）變換本質屬性的敘述或表達方式

小學生理解和掌握概念的特點之一往往是：對某一概念的內涵不很清楚，也不全面，把非本質的特徵作為本質的特徵。例如，有的學生誤認為，只有水平放置的長方形才叫長方形，如果斜著放就辨認不出來。為此，往往需要變換概念的敘述或表達方式，讓學生從各個側面來理解概念。旨在從變式中把握概念的本質屬性，排除非本質屬性的干擾。因為事物的本質屬性可以運用不同的語言來表達，如果學生對各種不同的敘述和表達都能理解和掌握，就說明學生對概念的理解是透徹的，是靈活的，不是死記硬背的。

4）對近似的概念及時加以對比辨析

在小學數學中，有些概念其含義接近，但本質屬性又有區別。如數與數字，數位與位數，奇數與質數，偶數與合數，化簡比與求比值，時間與時刻，質數、質因數與互質數，周長與面積，等等。對這類概念，學生常常容易混淆，必須及時把它們加以比較，以避免互相干擾。

如學習了“整除”，為了和以前學的“除盡”加以比較，可以設計這樣的練習題：下列等式中，哪些是整除，哪些是除盡?

(1)(2)

(3)(4)

(5)(6)

引導學生通過分析、比較，從而得出：第(3)題是有餘數的除法，當然不能說被除數被除數整除或除盡，其他各題當然能說被除數被除數除盡了。其中只有第(1)、(2)題，被除數、除數和商都是自然數，而且沒有餘數，這兩題既可以說被除數被除數除盡，又能說被除數被除數整除。從上面的分析中，讓學生明白：整除是除盡的一種特殊情況，除盡包括了整除和一切商是有限小數的情況。

學習了比之後，可以用列表法設計比與除法、分數之間的聯繫的習題，從中明確“除法是一種運算，分數是一個數，比是一個關係式”的區別。

3）重視概念的運用，發揮概念的作用

正確、靈活地運用概念，就是要求學生能夠正確、靈活地運用概念組成判斷，進行推理、計算、作圖等，能運用概念分析和解決實際問題。理解概念的目的在於運用，運用的途徑有：

1)自舉實例

這是要求學生把已經初步獲得的概念簡單運用於實際，通過實例來說明概念，加深對概念的理解。有經驗的教師，根據小學生對概念的認識通常帶有具體性的特點，在學生通過分析、綜合、抽象、概括出概念后，總是讓他們自舉例證，把概念具體化。從具體到抽象又回到具體，符合小學生的認識規律，使學生更準確把握概念的內涵和外延。

例如在學生初步獲得了真分數、假分數的概念后，就可以讓學生分別舉一些真分數和假分數的實例；知道了圓柱的特徵后，讓學生說說日常生活中有哪些物品的形狀是圓柱形的。

2)運用於計算、作圖等

例如，如學了乘法的運算定律后，就可以讓學生簡便計算下面各題。

在掌握分數的基本性質后，就要求學生能熟練地進行通分、約分，並說明通分、約分的依據。學習了小數的性質后，就可以讓學生把小數按要求進行化簡或改寫；學習了等腰三角形，可設計一組操作題；畫一個等腰三角形；畫一個頂角60度的等腰三角形；畫一個腰長為2厘米的等腰直角三角形。

3)運用於生活實踐

數學概念來源於生活，就必然要回到生活實際中去。教師引導學生運用概念去解決數學問題，是培養學生思維，發展各種數學能力的過程。並且，也只有讓學生把所學習到的數學概念，拿到生活實際中去運用，才會使學到的概念鞏固下來，進而提高學生對數學概念的運用技能。為此，教師在教學中應當根據教材內容和學生實際，在掌握小學數學教材邏輯系統的基礎上，有意識地深化和發展學生的數學概念。

例如在學習圓的面積后，一位教師就設計了這樣的問題：“我們已經學習了圓面積公式，誰能想辦法算一算，學校操場上白楊樹樹榦的橫截面面積?”同學們就討論開了，有的說，算圓面積一定要先知道半徑，只有把樹砍下來才能量出半徑；有的不贊成這樣做，認為樹一砍下來就會死掉。這時教師進一步引導說：“那麼能不能想出不砍樹就能算出橫截面面積的辦法來呢？大家再討論一下。”學生們渴望得到正確的答案，通過積極思考和爭論，終於找到了好辦法，即先量出樹榦的周長，再算出半徑，然後應用面積公式算出大樹橫截面面積。課後許多學生還到操場上實際測量了樹榦的周長，算出了橫截面面積。再如，在教學正比例應用題時，可以啟發學生運用旗杆高度與影長的關係，巧妙地算出了旗杆的高度。這樣通過創設有效的教學情景，教師適時點撥，不但啟迪了學生的思維，而且培養了學生學以致用的興趣和能力，也加深了對所學概念的理解。

（4）注重概念之間的比較分類，深化概念

小學數學知識的特點是系統性強，前後聯繫密切，但是由於小學生思維發展水平和接受能力的限制，有些知識的教學往往是分幾節課或幾個學期來完成，這樣難免在不同程度上削弱知識間的聯繫。對一些有聯繫的概念或法則，在一定階段應進行系統的整理，使學生在頭腦中建立起知識的網路，形成良好的認知結構。尤其是中高年級，可以引導學生將概念進行分類，明確概念間的聯繫和區別，以形成概念系統。

（一）乘法的初步認識教學片段

1．創設情景，出示課題

師：老師帶來了一些鉛筆準備獎給學習認真的小朋友，如果每人2枝，獎給4位小朋友，一共要多少枝？怎樣列式?(板書：)如果獎給5位小朋友，一共要多少枝?(板書：)我們班46名同學學習都很認真，每位小朋友都獎勵2枝，該怎麼列式呢？教師一邊板書，一邊問：這樣要寫多少個“2”?能不能有一種比較簡便的方法來表示呢？這就是我們要學習的乘法(板書課題)。

2．直觀感知，形成表象

(1)教學乘號。

(2)學生擺紅花，寫算式。

師：在投影儀上先擺2朵，再擺2朵，最後再擺2朵。問：數一數，一共擺了幾個2朵?(板書：3個2)可以用什麼方法算?(板書：)這個連加算式中加數都是2，我們可以把它改寫成乘法算式，寫作：，讀做：2乘3；也可以寫作：，讀做：3乘2。(教師示範，再指名讀、全班讀)

(3)學生擺小圓片，寫算式。

師：請小朋友自己擺一擺小圓片，再寫出算式，行嗎?

要求第一行擺3個小圓片，第二行也擺3個小圓片，一共擺了幾個小圓片？用加法算怎樣列式？能改寫成乘法算式嗎?(根據學生回答板書：

或

師：如果再擺兩行，那一共又有幾個3呢？算式該怎麼列?(根據學生回答板書：或

(4)看圖形，寫算式。

板書：，或

，或

3．分析比較，揭示本質

(1)師：仔細觀察黑板上的這些加法算式和乘法算式，你發現了什麼？引導學生得出：這些加法算式的加數都相同，所以能改寫成乘法算式。求幾個相同加數的和，用乘法計算比較簡便。

(2)討論下列算式哪些能改寫成乘法算式，哪些不能？為什麼?

4．多種訓練，鞏固和深化新知

(1)看圖列式。

*********************

加法算式：乘法算式：

(2)根據算式，用學具擺一擺。

(3)把前面“導入”中的三道加法算式改寫成乘法算式。

(4)自己寫一個加法算式，然後改寫成乘法算式。

5．小結(略)

評析：這節概念課遵循了概念形成的規律，依據感知——表象——概念——運用這麼一條途徑。概念的引入能緊緊抓住同數連加這一已有的知識基礎，又輔以生動形象的直觀教學手段，可謂雙管齊下。一開始就讓學生在現實情境中初步接觸“相同加數”，從計算全班學生的獎品總數而激起學生學習“乘法”的慾望。接著讓學生在操作實踐的過程中，各種感官協同活動，在獲得大量感性材料的基礎上，形成清晰而豐富的表象，為學生初步認識“乘法”奠定了堅實的基礎。新課展開以後能及時對加法算式和乘法算式這些感性材料引導學生進行分析比較，抽象概括出本質屬性。“求幾個相同加數和，用乘法計算比較簡便”這一結論是抽象概括的結果。教師通過第一層次由學生擺出了3個2朵小紅花，列出加法算式再引導學生看算式回答算式中的加數有什麼特點？再讓學生用正方形擺出4個3，用小圓片擺出5個4，分別列出加法算式，並觀察每個算式中加數的特點。第二層次，教師由三道加法算式引出新的運算——乘法，說明3個2相加的和，4個3相加的和。5個4相加的和，可以用乘法計算。第三層次，通過加法和乘法算式的比較，得出用乘法計算比較簡便。第四層次是抽象出乘法的意義。在這個由具體到抽象的過程中，學生的抽象、概括能力得到了培養。為鞏固新知設計的辨析題中既有肯定例證，也有否定例證，抓住了教學的難點，突出了教學的重點，有利於學生真正理解乘法的意義，即乘法是求幾個相同加數和的簡便運算。最後寫出求46個學生的鉛筆總數的乘法算式，使學生已有的概念得到了及時擴展。整節課學生都主動地投入了整個教學過程。

（二）面積單位及其進率教學片段

1．感知1平方分米

(1)學生觀察：教師在黑板上貼的紙上畫一條1分米長的線段，以這條線段為邊長，畫一個正方形。告訴學生，這個邊長1分米的正方形的面積是l平方分米。接著教師用剪刀剪下這l平方分米的正方形紙，貼在黑板上。

(2)學生操作：剪出一個l平方分米的正方形，用手摸一摸，閉上眼睛想一想1平方分米的樣子及大小。

2．感知1平方厘米

(1)師：誰能第一個剪出1平方厘米的正方形？學生動手剪出了l平方厘米的正方形后，要求他們說說是怎樣剪的。然後讓學生用手摸一摸，閉上眼睛想一想l平方厘米的樣子及大小。

(2)把1平方分米的正方形紙和l平方厘米的正方形紙放在桌面上，看一看，比一比，閉上眼睛想一想它們的樣子及大小。

3．感知1平方米

師：誰能告訴大家，怎樣剪出1平方米的正方形紙？學生說完，教師就把事先剪好的1平方米的正方形紙貼在黑板上，讓學生看一看，閉上眼睛想一想它的樣子和大小。

4．討論：什麼叫1平方分米、1平方厘米、l平方米?

5．討論：1平方分米、l平方厘米及l平方米的關係。

(1)要求學生看著自己桌上的1平方分米和1平方厘米的正方形紙。想一想怎樣才能測出1平方分米中有多少個l平方厘米？學生認為動手擺一擺、畫一畫就能測出來。開始學生把兩張正方形紙的一個頂點對齊，然後沿著1平方厘米的正方形紙的邊沿把它所佔的平面位置畫在了1平方分米的正方形紙上。再挪動1平方厘米的正方形紙，緊挨著畫好的小正方形擺好，再沿邊沿畫出它所佔的位置。再挪動正方形……這樣畫了一排，再畫第二排，第二排沒有畫完，有的學生已經用尺子把l平方分米的正方形每邊平均分成了10份，把對邊上的兩點連結，畫出格線，數一數，算一算，得出。

(2)提問：怎樣知道1平方米中有多少個1平方分米？如果沿l平方米的正方形的邊長擺1平方分米的小正方形，一排能擺幾個？可以擺多少排？得出：

。

(3)想一想，算一算，l平方米等於多少平方厘米呢？學生很快就得出：

。

6．鞏固運用

(1)舉例說說1平方厘米、l平方分米、1平方米的大小。

(2)填上合適的單位名稱。(略)

評析：學生通過動手操作，可以增加對所學知識的感性認識，在操作中獲得實物的表象，加深對所學知識的理解。這裡的教學片段，教師正是出於這樣的思考，讓學生通過自己動手擺一擺，畫一畫，想一想，算一算，真正理解了1平方米、1平方分米、l平方厘米的意義及它們之間的進率，並且印象深刻，記憶持久。同時，也培養了學生的動手能力。自始至終學生獲取知識的過程是主動積極的。

（三）質數與合數教學片段

1．導入

師：同學們都有自己的學號，請把表示你學號的這個數的所有約數找出來。

(指名反饋，教師根據29號、2號、26號、16號同學的發言，逐一板書這些數的約數。其餘同學互相交流。)

2．分類整理，揭示概念

師：請同學們仔細觀察這些數(手指黑板)，能不能把這些數分分類？同桌可以互相議一議。

生甲：我把這些數分成兩類，一類是奇數，一類是偶數。奇數有21、7、29，偶數有6、2、26和16。

生乙：我是按約數的個數來分的，7、29、2隻有兩個約數分為一類，6、16、21、26有兩個以上的約數分為一類。

生丙：我把6、7、2分為一類，這些數都是一位數，21、16、29、26分為一類，這些數都是兩位數。

師：還有其他分法嗎?(學生表示沒有)這些分法都有道理。奇數、偶數我們以前已經認識了，我們著重來研究按約數個數來分的情況。像這樣只有兩個約數的數，叫做質數，也叫做素數；有兩個以上約數的數叫做合數。

3．討論，建立概念

師：再請同學們仔細觀察一下：質數有什麼特點？合數有什麼特點？有困難的同學可以和周圍的同學商量一下。

生：質數的約數只有l和它本身兩個，合數的約數除了1和它本身還有別的約數。

師：有沒有不同意見？誰再來說一說？看看書上是怎麼說的。

4．理解和鞏固概念

師：我們知道了什麼是質數，什麼是合數，那麼除了黑板上的這些數，你還能舉一些例子嗎？寫在本子上。

生：19、23、27、31、59、61是質數，4、15、20、18、25、10、12、30是合數。

師：還有嗎？還有這麼多同學想說，可是黑板只有這麼大，怎麼辦?

生：用省略號表示。(板書)

師：這幾位同學舉出的這些數是不是質數？指板書我們來判斷一下。

生：19、23是質數，27不是質數。

師：27為什麼不是質數?

生：因為27除了1和它本身以外，還有別的約數3和9，所以是合數。(教師調整板書)

師：這些都是合數嗎?(學生沒有意見)誰能說說12為什麼是合數?

5．運用概念

(1)教師從周圍環境中選取素材，讓學生進行判斷練習，概括出判斷方法(略)。

(2)討論“1”，得出1既不是質數，也不是合數，因為它只有一個約數。

6．綜合練習

(1)找一找，黑板上的這些數中，哪些是奇數？哪些是偶數？你發現了什麼?(一些數既是奇數又是合數，如9、21等；一些數既是偶數又是質數，如2)

師：既是偶數又是質數的只有2，其他偶數有可能是質數嗎？為什麼？同桌互相檢查一下，你找對了嗎?

(2)出示2～50的數，要求很快找出質數。

反饋時要求介紹一下你有什麼好方法。

(3)把下面各數寫成兩個質數的和。

師：這裡的6、8、10、12都是什麼數?

生：是合數，也都是偶數。

師：能不能把這些數寫成兩個質數的和？學生在練習本上寫。

師：是不是所有不小於6的偶數都能寫成兩個質數的和？這是一種猜想，要證明它可不容易，這就是世界有名的難題“哥德巴赫猜想”，有興趣的同學課後可以去查閱有關資料。

評析：這是一節比較抽象的概念課，其最大的特點是教師能遵循學生概念學習的特點展開整個教學過程。上課一開始就緊緊抓住“約數”這一已有的基礎知識，讓學生找一找表示自己學號的數的約數，通過觀察、分類，揭示質數、合數的概念。再通過進一步的觀察、討論，並用自己的語言來說一說什麼是質數、合數，初步建立概念。在此基礎上，請全體學生舉例，進行判斷，從而檢驗並鞏固了所學的概念。綜合練習的組織，在及時鞏固運用新知識的同時，溝通了與舊知識的聯繫，讓學生明確了奇數、偶數、質數、合數間的區別和聯繫，使概念系統化。

除此之外，這節課還有以下三個特點：一是教師能真心誠意地把學生當做學習的主體，課堂的主人，發揚教學民主，讓每個學生都積極參與教學過程，在自主探索中獲取新知，體驗成功。二是注意就地取材，充實教學內容，使抽象的教學內容變得生動，貼近學生生活。三是能以知識學習為載體，培養學生主動探索、獨立思考的能力和敢於創新的。