線性代數

本書是普通高等教育經濟學學科門類和管理學學科門類本科數學基礎教材之一，是依據經濟和管理類專業人才培養目標的要求，為提升本科教學水平而編寫的教材。為此編寫了6章內容，其中第1章、第2章分別介紹了行列式與矩陣這兩個工具；第3章主要介紹應用行列式與矩陣這兩個工具來解齊次線性方程組；第4章是把前3章的知識應用到方陣特別是實對稱矩陣的對角化問題中；第5章繼續分析實對稱矩陣及其對應的二次型的相關問題。以上每章後面都配有適當數目和難度的習題，部分習題來自最近幾年的考研真題，並配有答案，以滿足不同層次讀者的學習要求。第6章則介紹如何使用MATLAB軟體完成前5章中的計算問題.

本教材可供經濟和管理類各專業本科教育教學使用，也可以作為其他相關人員的學習與參考資料.

“線性代數”是一門非常實用的工具性學科，雖然對學習者的數學基礎要求較低，但這門課在經濟管理類專業的後續課程如“概率論與數理統計”、“運籌學”、“計量經濟學”、“應用多元統計”的學習中發揮著重要作用。為了適應新世紀的教學要求，特別是在我校經管類各專業實現一本招生以後，我們認識到應該將多年的教學經驗加以總結，編寫一本“線性代數”教材，於是有了本書的出版。在編寫這本教材的過程中，我們堅持了以下原則：

（1）教材的編寫緊密結合“新世紀高等教育教學改革工程”中的本科教育教學改革立項項目研究的成果，堅持把教材建設納入本科教育教學改革的研究中。實際上，本教材的很多內容是在經管試點班“線性代數”課程多年教學工作中總結而成的.

（2）教材的編寫儘可能滿足多層次學習水平的需要，除了介紹基本教學內容以外，對於較難的定理我們在附錄中儘可能給出嚴格的證明，對於一些常用的重要結論，我們也儘可能列出，為以後考研的學生打下堅實的基礎.

（3）教材的編寫儘可能與現代先進的計算技術相結合。線性代數中涉及大量的計算，我們認為教學的目的是讓學習者掌握課程的思想和精髓，複雜的計算不是教學的最終要求，為此，我們單獨編寫了一章介紹如何使用MATLAB軟體來解決“線性代數”各個章節中內容的計算，我們覺得這是一種有益的嘗試.

根據以上指導思想，我們的教材力求體現如下特色：

（1）新穎性——在介紹“線性代數”課程基本內容的基礎上，我們力求選擇一些代表性的例題和習題，特別是一些考研真題的引入，增強了教學和學習的實戰性。在某些定理的證明過程中另闢蹊徑，採用簡捷的證明方式替代傳統煩瑣的表達方式，如第3章中向量組之間線性關係的證明就體現了這點.

（2）現代性——在介紹“線性代數”課程基本內容的基礎上，我們專門單獨拿出一章的內容介紹MATLAB軟體在“線性代數”教學中的應用，這在目前的流行教材中鮮有先例.

（3）實用性——本教材內容介紹上注重多層次學習水平的要求，且例題來源代表性強，習題部分中更是選取了近幾年的部分考研真題，因此既滿足實際教學需要，又可以作為了解考研動向的參考資料，能夠滿足經濟管理類各個相關專業教學的需要.

本書共分6章。第1章為行列式，核心內容是行列式的計算，為此著重介紹了行列式的定義、性質以及展開定理，最後介紹了行列式在求解一類特殊線性方程組中的應用，這部分由江海峰編寫。第2章為矩陣，核心內容圍繞矩陣的計算展開，主要介紹了矩陣的概念、分類、加減法運算、乘法運算、求逆運算、轉置運算、冪運算和求秩運算，同時還介紹了初等變換定理等內容，這部分由崔立志編寫。第3章為線性方程組，核心內容圍繞線性方程組的求解和解的表示而展開，主要介紹了線性方程組解存在的條件、向量的定義、向量的線性相關與線性無關的定義與判定定理、向量組之間的關係、解的結構與通解的表示等，這部分由江海峰編寫。第4章為相似矩陣與矩陣對角化，核心內容圍繞矩陣對角化的條件與對角化方法而展開，包括矩陣特徵值、特徵向量、相似形以及對角化的條件，介紹了實對稱矩陣的對角化問題，這部分由張莉編寫。第5章為二次型，核心內容圍繞二次型的標準型和規範型而展開，包括二次型的概念、如何化二次型為標準型和規範型以及二次型的有定性及其判定定理和二次型的應用，這部分由吳小華編寫。第6章介紹了MATLAB軟體在前5章中的應用，這部分由吳小華編寫。全書由江海峰負責統稿.

前言

第1章行列式

1.1 行列式的定義與相關概念

1.2 行列式的性質

1.3 行列式的展開定理

1.4 克萊姆法則

第2章矩陣

2.1 矩陣的概念

2.2 矩陣的運算

2.3 矩陣的逆運算——伴隨矩陣法

2.4 矩陣的逆運算——初等變換法

2.5 矩陣的秩

2.6 矩陣的分塊

第3章線性方程組

3.1 線性方程組的消元解法及解存在的條件

3.2 向量及其線性關係

3.3 向量組之間的關係與極大線性無關組

3.4 線性方程組解的結構

第4章相似矩陣與矩陣對角化

4.1 矩陣特徵值與特徵向量

4.2 矩陣的相似與對角化

4.3 實對稱矩陣的對角化

第5章二次型

5.1 二次型與線性變換

5.2 二次型的標準型及其求法

5.3 二次型的規範型與慣性定理

5.4 二次型的有定性

5.5 二次型理論的兩個應用

第6章 MATLAB在線性代數中的應用

6.1 MATLAB的基礎知識

6.2 行列式、矩陣的運算

6.3 向量組的線性相關性與線性方程組

6.4 特徵值與特徵向量

習題參考答案

參考文獻