概率論與數理統計

本書是為大學層面的工科、經管學科等學生編寫的入門教科書。先修知識只要求微積分和線性代數。本書以較小的篇幅闡述概率與統計的思維方法以及最基本的內容、概念與方法。寫作時我們力求與國際接軌。內容包括：古典模型與概率空間; 隨機變數及隨機數的生成; 極限定理介紹; 數據與統計，重點強調描述性統計; 點估計與區間估計; 假設檢驗，強調用p值作為否定零假設的依據，並介紹了用Microsoft Excel 作統計計算; 變數間的統計關係與回歸模型; 方差分析介紹; 非參數方法及數據間的Spearman秩相關係數的介紹，正態化相關係數; 再抽樣法與刀切法介紹等.

第1章古典模型與概率空間

1.1概率的古典模型與對概率認識的經驗概括

1.1.1引言

1.1.2概率的古典模型——等可能性分析

1.1.3事件的運算及古典模型中概率的加法法則

1.1.4古典模型的條件概率

1.1.5頻率與其加法法則

1.2概率的公理模型——概率空間

1.2.1引言

1.2.2概率的公理模型

1.2.3概率的公理模型的直接推論——概率的性質及計算

1.2.4公理化概率空間中的條件概率

1.2.5乘法公式

1.2.6全概率公式

1.2.7Bayes公式（逆概率公式）

1.2.8隨機事件的獨立性

習題1

第2章離散隨機變數

2.1Bernoulli隨機變數及其分佈

2.1.1Bernoulli隨機試驗列與描述它的隨機變數

2.1.2成功率很小時二項概率的近似計算、Poisson近似

2.2離散隨機變數與其分佈函數

2.2.1離散隨機變數與Poisson隨機變數

2.2.2離散隨機向量

2.2.3邊緣分佈

2.3離散隨機變數的條件分佈、獨立性

2.3.1離散隨機變數的條件分佈

2.3.2離散隨機變數的獨立性

2.4離散隨機變數的數字錶征

2.4.1離散隨機變數的數學期望（均值）

2.4.2一些常見的離散分佈的期望

*2.4.3離散隨機變數Y在條件X=x下的期望與Y關於X的條件期望

2.4.4離散隨機變數的方差和變異係數

2.4.5一些常見的離散分佈的方差和變異係數

*2.4.6離散隨機變數的條件分佈的方差

2.5兩個隨機變數的協方差與相關係數

2.5.1兩個隨機變數的協方差與相關係數的定義及其統計含義

2.5.2協方差的計算與性質

習題2

第3章連續型隨機變數

3.1連續型隨機變數

3.1.1連續型隨機變數的定義

3.1.2概率密度函數的一些性質

3.2連續型隨機向量與邊緣分佈及條件分佈

3.2.1聯合密度與邊緣分佈

3.2.2聯合分佈函數與邊緣分佈函數

3.2.3連續型隨機變數的數字錶征

3.3常見的連續型隨機變數的分佈及其數字錶征

3.3.1均勻隨機變數、均勻分佈與隨機數

3.3.2指數隨機變數與指數分佈

3.3.3正態隨機變數與正態分佈

3.3.4二維正態隨機向量與二維正態分佈

3.4連續型隨機變數的條件密度、混合分佈與條件期望

3.4.1連續型隨機變數的條件概率與條件密度

*3.4.2混合分佈

*3.4.3連續型條件期望與全期望公式

習題3

第4章隨機變數的函數與矩母函數

4.1隨機變數的函數

4.1.1計算隨機變數函數的分佈的一般原則

4.1.2矩母函數

4.1.3對數正態分佈

4.1.4兩個隨機變數和的分佈

4.2gamma族分佈

*4.2.1gamma分佈

4.2.2χ2分佈

4.3隨機變數的多個函數的聯合分佈

4.3.1一般公式

4.3.2商的分佈

4.4隨機數與隨機模擬

4.4.1生成隨機數的逆函數方法

*4.4.2生成隨機數的von Neumann取捨原則

習題4

第5章極限定理介紹

5.1Chebyshev不等式與大數定律

5.1.1Chebyshev不等式

5.1.2經典大數定律

*5.1.3依概率收斂的性質

5.2中心極限定理

5.2.1極限定理的矩母函數方法

5.2.2獨立同分佈隨機變數列的中心極限定理

習題5

第6章數據與統計、正態抽樣分佈

6.1總體與樣本、隨機樣本

6.1.1總體

6.1.2樣本、隨機樣本

6.1.3描述性統計與推斷性統計

6.2隨機數據與數據的描述性統計

6.2.1類別數據與定量數據

6.2.2類別數據的圖形表示法

6.2.3定量數據的圖形表示法

6.2.4一個應用——數據是否來自正態的一個經驗做法

6.3定量數據的數字特徵

6.3.1數據的均值、方差、標準差、偏度與峰度

6.3.2二維數據的數字特徵

6.4抽樣分佈

6.4.1Z 分佈

6.4.2χ2分佈

6.4.3t分佈

6.4.4F分佈

習題 6

第7章點估計方法

7.1矩估計方法與百分位數匹配方法

7.1.1矩估計原則

*7.1.2百分位數匹配方法

7.2極大似然估計方法

7.2.1似然函數與極大似然估計

*7.2.2不同分佈的數據、刪失數據、不獨立數據情形的極大似然估計

7.3估計優良的一些標準

7.3.1估計的偏差與無偏性

7.3.2估計的相合性要求

7.3.3估計量的均方誤差、方差和方差的估計

*7.3.4Fisher 信息量與無偏估計的方差的Cramer?Rao下界

*7.4Bayes估計

7.4.1Bayes方法

7.4.2共軛先驗分佈

習題7

第8章參數的區間估計

8.1大樣本情形的置信區間

8.1.1大樣本情形參數區間估計的一般原則

8.1.2 一個總體的情形

8.1.3兩個總體的情形

8.2小樣本情形正態總體的參數的置信區間

8.2.1一個正態總體的情形

8.2.2兩個正態總體的情形

8.3均值的單側置信區間、隨機變數的風險值與容忍限

8.3.1均值的單側置信區間

*8.3.2隨機變數的風險值

*8.3.3正態數據的容忍限

8.4利用區間估計作統計判斷

習題8

第9章假設檢驗

9.1假設檢驗的基本概念

9.1.1零假設與統計否定法

9.1.2兩個類別變數間是否顯著的不獨立——兩種因素的無關性檢驗

9.1.3區間估計與假設檢驗的關係

9.2大樣本情形總體參數的假設檢驗問題

9.2.1大樣本情形總體參數的Z檢驗的一般原則

9.2.2一個總體大樣本情形的Z檢驗

9.2.3兩個總體大樣本情形的Z檢驗

9.3正態總體小樣本情形的假設檢驗

9.3.1一個正態總體的情形

9.3.2兩個正態總體的情形

9.3.3均值的單側檢驗

9.4假設檢驗的拒絕域與兩種可能的錯誤

9.4.1檢驗的兩種可能的錯誤

*9.4.2假設檢驗問題的法庭、病檢與醫療事故責任檢驗類比

9.5χ2檢驗用於列聯表和擬合度

9.5.1關係的顯著性檢驗

9.5.2類別變數的擬合度（goodness）檢驗與分佈函數的擬合

習題9

第10章變數間的統計關係與回歸模型

10.1一元線性回歸模型

10.1.1正態隨機誤差模型

10.1.2正態誤差模型的參數估計

10.1.3非正態誤差的一元線性回歸模型及其模型的參數估計

10.1.4一元線性回歸模型參數的假設檢驗和置信區間

*10.1.5一元線性回歸模型的方差分析

10.1.6一元線性回歸模型的預測

10.1.7用散點圖檢查一元線性回歸模型的條件

10.2多元線性回歸模型

10.2.1正態隨機誤差模型

10.2.2回歸係數的統計顯著性檢驗

*10.2.3多元線性回歸的方差分析

*10.2.4多元回歸模型的矩陣形式

10.2.5用多元線性回歸模型作數據的曲線擬合

習題10

第11章方差分析介紹

11.1單因素方差分析

11.1.1樣本容量相等情形多個正態總體的等均值檢驗

11.1.2樣本容量不同情形多個正態總體的等均值檢驗

11.1.3多重比較與均值差的區間估計

*11.2兩因素方差分析

習題11

*第12章非參數方法介紹

12.1符號檢驗

12.1.1一個有密度的總體的中位數檢驗

12.1.2兩個總體中位數相等的檢驗

12.2符號秩檢驗

12.2.1數據的秩與隨機變數組的Wilcoxon符號秩

12.2.2一個具有對稱密度的總體均值檢驗——Wilcoxon符號秩檢驗

12.2.3兩個具有對稱密度的總體均值相等的檢驗

12.3連貫檢驗

12.3.1連貫

12.3.2樣本的隨機性的連貫檢驗

12.4數據的非參數相關係數

12.4.1Spearman相關係數

12.4.2數據的正態化與正態化相關係數

習題12

第13章一些常用的統計方法

13.1再抽樣方法

13.1.1非參數Bootstrap方法

13.1.2參數Bootstrap方法

13.1.3樣本值模糊化后的再抽樣

*13.2用刀切法減少偏倚

附錄A幾種常見的概率分佈

附錄B計算常用分佈的尾概率的表

表1標準正態分佈

表2χ2分佈表

表3t分佈表

表4(a)F分佈表（顯著性水平5%）

表4(b)F分佈表（顯著性水平1%）

部分習題解答

索引