數學史

數學史既屬史學領域，又屬數學科學領域，因此數學史研究既要遵循史學規律。

研究數學史的意義在於：

1、科學意義

每一門科學都有其發展的歷史，作為歷史上的科學，既有其歷史性又有其現實性。其現實性首先表現在科學概念與方法的延續性方面，今日的科學研究在某種程度上是對歷史上科學傳統的深化與發展，或者是對歷史上科學難題的解決，因此無法割裂科學現實與科學史之間的聯繫。數學科學具有悠久的歷史，與自然科學相比，數學更是積累性科學，其概念和方法更具有延續性，比如古代文明中形成的十進位值制記數法和四則運演演算法則，今天仍在使用，諸如費爾馬猜想、哥德巴赫猜想等歷史上的難題，長期以來一直是現代數論領域中的研究熱點，數學傳統與數學史材料可以在現實的數學研究中獲得發展。國內外許多著名的數學大師都具有深厚的數學史修養或者兼及數學史研究，並善於從歷史素材中汲取養分，做到古為今用，推陳出新。中國著名數學家吳文俊先生早年在拓撲學研究領域取得傑出成就，七十年代開始研究中國數學史，在中國數學史研究的理論和方法方面開創了新的局面，特別是在中國傳統數學機械化思想的啟發下，建立了被譽為“吳方法”的關於幾何定理機器證明的數學機械化方法，他的工作不愧為古為今用，振興民族文化的典範。

科學史的現實性還表現在為今日的科學研究提供經驗教訓和歷史借鑒，使明確科學研究的方向以少走彎路或錯路，為當今科技發展決策的制定提供依據，也是預見科學未來的依據。多了解一些數學史知識，也不會致使出現諸如解決三等分角作圖等荒唐事，避免在這樣的問題上白費時間和精力。同時，總結中國數學發展史上的經驗教訓，對中國當今數學發展不無益處。

2、文化意義

美國數學史家M.克萊因曾經說過：“一個時代的總的特徵在很大程度上與這個時代的數學活動密切相關。這種關係在這個時代尤為明顯”。“數學不僅是一種方法、一門藝術或一種語言，數學更主要是一門有著豐富內容的知識體系，其內容對自然科學家、社會科學家、哲學家、邏輯學家和藝術家十分有用，同時影響著政治家和神學家的學說”。數學已經廣泛地影響著人類的生活和思想，是形成現代文化的主要力量。因而數學史是從一個側面反映的人類文化史，又是人類文明史的最重要的組成部分。許多歷史學家通過數學這面鏡子，了解古代其他主要文化的特徵與價值取向。古希臘（公元前600年-公元前300年）數學家強調嚴密的推理和由此得出的結論，因此他們不關心這些成果的實用性，而是教育人們去進行抽象的推理，和激發人們對理想與美的追求。通過希臘數學史的考察，就十分容易理解，為什麼古希臘具有很難為後世超越的優美文學、極端理性化的哲學，以及理想化的建築與雕塑。而羅馬數學史則告訴大家，羅馬文化是外來的，羅馬人缺乏獨創精神而注重實用。

3、教育意義

學習過數學史后，自然會有這樣的感覺：數學的發展並不合邏輯，或者說，數學發展的實際情況與今日所學的數學教科書很不一致。今日中學所學的數學內容基本上屬於17世紀微積分學以前的初等數學知識，而大學數學系學習的大部分內容則是17、18世紀的高等數學。這些數學教材業已經過千錘百鍊，是在科學性與教育要求相結合的原則指導下經過反覆編寫的，是將歷史上的數學材料按照一定的邏輯結構和學習要求加以取捨編纂的知識體系，這樣就必然捨棄了許多數學概念和方法形成的實際背景、知識背景、演化歷程以及導致其演化的各種因素，因此僅憑數學教材的學習，難以獲得數學的原貌和全景，同時忽視了那些被歷史淘汰掉的但對現實科學或許有用的數學材料與方法，而彌補這方面不足的最好途徑就是通過數學史的學習。

在一般人看來，數學是一門枯燥無味的學科，因而很多人視其為畏途，從某種程度上說，這是由於數學教科書教授的往往是一些僵化的、一成不變的數學內容，如果在數學教學中滲透數學史內容而讓數學活起來，這樣便可以激發學生的學習興趣，也有助於學生對數學概念、方法和原理的理解與認識的深化。

科學史是一門文理交叉學科，從今天的教育現狀來看，文科與理科的鴻溝導致教育所培養的人才已經越來越不能適應當今自然科學與社會科學高度滲透的現代化社會，正是由於科學史的學科交叉性才可顯示其在溝通文理科方面的作用。通過數學史學習，可以使數學系的學生在接受數學專業訓練的同時，獲得人文科學方面的修養，文科或其它專業的學生通過數學史的學習可以了解數學概貌，獲得數理方面的修養。而歷史上數學家的業績與品德也會在青少年的人格培養上發揮十分重要的作用。

中國數學有著悠久的歷史，14世紀以前一直是世界上數學最為發達的國家，出現過許多傑出數學家，取得了很多輝煌成就，其源遠流長的以計算為中心、具有程序性和機械性的演演算法化數學模式與古希臘的以幾何定理的演繹推理為特徵的公理化數學模式相輝映，交替影響世界數學的發展。由於各種複雜的原因，16世紀以後中國落後了，經歷了漫長而艱難的發展歷程才漸漸匯入現代數學的潮流。由於教育上的失誤，致使接受現代數學文明熏陶的大夥，往往數典忘祖，對祖國的傳統科學一無所知。數學史可以使學生了解中國古代數學的輝煌成就，了解中國近代數學落後的原因，中國現代數學研究的現狀以及與發達國家數學的差距，以激發學生的愛國熱情，振興民族科學。

數學史研究的任務在於，弄清數學發展過程中的基本史實，再現其本來面貌，同時透過這些歷史現象對數學成就、理論體系與發展模式作出科學、合理的解釋、說明與評價，進而探究數學科學發展的規律與文化本質。作為數學史研究的基本方法與手段，常有歷史考證、數理分析、比較研究等方法。

史學家的職責就是根據史料來敘述歷史，求實是史學的基本準則。從17世紀始，西方歷史學便形成了考據學，在中國出現更早，尤鼎盛於清代乾嘉時期，時至今日仍為歷史研究之主要方法，只不過隨著時代的進步，考據方法在不斷改進，應用範圍在不斷拓寬而已。當然，應該認識到，史料存在真偽，考證過程中涉及到考證者的心理狀態，這就必然影響到考證材料的取捨與考證的結果。就是說，歷史考證結論的真實性是相對的。同時又應該認識到，考據也非史學研究的最終目的，數學史研究又不能為考證而考證。

不會比較就不會思考，而且所有的科學思考與調查都不可缺少比較，或者說，比較是認識的開始。今日世界的發展是多極的，不同國家和地區、不同民族之間在文化交流中共同發展，因而隨著多元化世界文明史研究的展開與西方中心論觀念的淡化，異質的區域文明日益受到重視，從而不同地域的數學文化的比較以及數學交流史研究也日趨活躍。數學史的比較研究往往圍繞數學成果、數學科學範式、數學發展的社會背景等三方面而展開。

數學史既屬史學領域，又屬數學科學領域，因此，數學史研究既要遵循史學規律，又要遵循數理科學的規律。根據這一特點，可以將數理分析作為數學史研究的特殊的輔助手段，在缺乏史料或史料真偽莫辨的情況下，站在現代數學的高度，對古代數學內容與方法進行數學原理分析，以達到正本清源、理論概括以及提出歷史假說的目的。數理分析實際上是“古”與“今”間的一種聯繫。

①古希臘曾有人寫過《幾何學史》，未能流傳下來。

②5世紀普羅克洛斯對歐幾里得《幾何原本》第一卷的注文中還保留有一部分資料。

③中世紀阿拉伯國家的一些傳記作品和數學著作中，講述到一些數學家的生平以及其他有關數學史的材料。

④12世紀時，古希臘和中世紀阿拉伯數學書籍傳入西歐。這些著作的翻譯既是數學研究，也是對古典數學著作的整理和保存。

是從18世紀，由J.蒙蒂克拉、C.博絮埃、A.C.克斯特納同時開始，而以蒙蒂克拉1758年出版的《數學史》（1799～1802年又經拉朗德增補）為代表。從19世紀末葉起，研究數學史的人逐漸增多，斷代史和分科史的研究也逐漸展開，1945年以後，更有了新的發展。19世紀末葉以後的數學史研究可以分為下述幾個方面。

1、通史研究

代表作可以舉出M.B.康托爾的《數學史講義》（4卷，1880～1908）以及C.B.博耶（1894、1919D.E.史密斯（2卷，1923～1925）、洛里亞（3卷，1929～1933）等人的著作。法國的布爾巴基學派寫了一部數學史收入《數學原理》。以尤什凱維奇為代表的蘇聯學者和以彌永昌吉、伊東俊太郎為代表的日本學者也都有多卷本數學通史出版。1972年美國M.克萊因所著《古今數學思想》一書，是70年代以來的一部佳作。

2、古希臘史

許多古希臘數學家的著作被譯成現代文字，在這方面作出了成績的有J.L.海貝格、胡爾奇、T.L.希思等人。洛里亞和希思還寫出了古希臘數學通史。20世紀30年代起，著名的代數學家范·德·瓦爾登在古希臘數學史方面也作出成績。60年代以來匈牙利的A.薩博的工作則更為突出，他從哲學史出發論述了歐幾里得公理體系的起源。

3、古埃及史

把巴比倫楔形文字泥板算書和古埃及紙草算書譯成現代文字是艱難的工作。查斯和阿奇博爾德等人都譯過紙草算書，而諾伊格鮑爾鍥而不捨數十年對楔形文字泥板算書的研究則更為有名。他所著的《楔形文字數學史料研究》（1935、1937）、《楔形文字數學書》（與薩克斯合著，1945）都是這方面的權威性著作。他所著《古代精密科學》（1951）一書，彙集了半個世紀以來關於古埃及和巴比倫數學史研究成果。范·德·瓦爾登的《科學的覺醒》（1954）一書，則又加進古希臘數學史，成為古代世界數學史的權威性著作之一。

4、斷代史

德國數學家（C.）F.克萊因著的《19世紀數學發展史講義》（1926～1927）一書，是斷代體近現代數學史研究的開始，它成書於20世紀，但其中所反映的對數學的看法卻大都是19世紀的。直到1978年法國數學家讓·亞歷山大·歐仁·迪厄多內所寫的《1700～1900數學史概論》出版之前，斷代體數學史專著並不多，但卻有（C.H.）H.外爾寫的《半個世紀的數學》之類的著名論文。對數學各分支的歷史，從數論、概率論，直到流形概念、希爾伯特數學問題的歷史等，有多種專著出現，而且不乏名家手筆。許多著名數學家參與數學史的研究，可能是基於（J.-）H.龐加萊的如下信念，即:“如果想要預見數學的將來，適當的途徑是研究這門科學的歷史和現狀”，或是如H.外爾所說的：“如果不知道遠溯古希臘各代前輩所建立的和發展的概念方法和結果，就不可能理解近50年來數學的目標，也不可能理解它的成就。”

5、數學家傳

以及他們的全集與《選集》的整理和出版，這是數學史研究的大量工作之一。此外還有多種《數學經典論著選讀》出現，輯錄了歷代數學家成名之作的珍貴片斷。

6、數學雜誌

最早出現於19世紀末，M.B.康托爾（1877～1913，30卷）和洛里亞（1898～1922，21卷）都曾主編過數學史雜誌，最有名的是埃內斯特勒姆主編的《數學寶藏》（1884～1915，30卷）。現代則有國際科學史協會數學史分會主編的《國際數學史雜誌》。

中國以歷史傳統悠久而著稱於世界，在歷代正史的《律曆志》“備數”條內常常論述到數學的作用和數學的歷史。例如較早的《漢書·律曆志》說數學是“推歷、生律、制器、規圓、矩方、權重、衡平、準繩、嘉量，探賾索隱，鉤深致遠，莫不用焉”。《隋書·律曆志》記述了圓周率計算的歷史，記載了祖沖之的光輝成就。歷代正史《列傳》中，有時也給出了數學家的傳記。正史的《經籍志》則記載有數學書目。

在中國古算書的序、跋中，經常出現數學史的內容。

如劉徽注《九章算術》序（263）中曾談到《九章算術》形成的歷史；王孝通“上緝古算經表”中曾對劉徽、祖沖之等人的數學工作進行評論；祖頤為《四元玉鑒》所寫的序文中講述了由天元術發展成四元術的歷史。宋刊本《數術記遺》之後附錄有“算學源流”，這是中國，也是世界上最早用印刷術保存下來的數學史資料。程大位《演演算法統宗》（1592）書末附有“算經源流”，記錄了宋明間的數學書目。

以上所述屬於零散的片斷資料，對中國古代數學史進行較為系統的整理和研究，則是在乾嘉學派的影響下，在清代中晚期進行的。主要有：①對古算書的整理和研究，《算經十書》（漢唐間算書)和宋元算書的校訂、註釋和出版，參預此項工作的有戴震（1724～1777）、李潢（?～1811）、阮元（1764～1849）、沈欽裴（1829年校算《四元玉鑒》)、羅士琳（1789～1853）等人 ②編輯出版了《疇人傳》（數學家和天文學家的傳記），它“肇自黃帝，迄於昭（清）代，凡為此學者，人為之傳”，它是由阮元、李銳等編輯的（1795～1799）。其後，羅士琳作“補遺”（1840），諸可寶作《疇人傳三編》（1886），黃鐘駿又作《疇人傳四編》（1898）。《疇人傳》，實際上就是一部人物傳記體裁的數學史。收入人物多，資料豐富，評論允當，它完全可以和蒙蒂克拉的數學史相媲美。

利用現代數學概念，對中國數學史進行研究和整理，從而使中國數學史研究建立在現代科學方法之上的學科奠基人，是李儼和錢寶琮。他們都是從五四運動前後起，開始搜集古算書，進行考訂、整理和開展研究工作的 經過半個多世紀，李儼的論文自編為《中算史論叢》（1～5集，1954～1955），錢寶琮則有《錢寶琮科學史論文集》（1984）行世。從20世紀30年代起，兩人都有通史性中國數學史專著出版，李儼有《中國算學史》（1937）、《中國數學大綱》（1958）；錢寶琮有《中國算學史》（上，1932）並主編了《中國數學史》（1964）。錢寶琮校點的《算經十書》（1963）和上述各種專著一道，都是權威性著作。

從19世紀末，即有人（偉烈亞力、赫師慎等）用外文發表中國數學史方面的文章。20世紀初日本人三上義夫的《數學在中國和日本的發展》以及50年代李約瑟在其巨著《中國科學技術史》（第三卷)中對中國數學史進行了全面的介紹。有一些中國的古典算書已經有日、英、法、俄、德等文字的譯本。在英、美、日、俄、法、比利時等國都有人直接利用中國古典文獻進行中國數學史的研究以及和其他國家和地區數學史的比較研究。

按研究的範圍又可分為內史和外史。

內史：從數學內在的原因（包括和其他自然科學之間的關係）來研究數學發展的歷史；

外史：從外在的社會原因（包括政治、經濟、哲學思潮等原因）來研究數學發展與其他社會因素間的關係。

數學史和數學研究的各個分支，和社會史與文化史的各個方面都有著密切的聯繫，這表明數學史具有多學科交叉與綜合性強的性質。

從研究材料上說，考古資料、歷史檔案材料、歷史上的數學原始文獻、各種歷史文獻、民族學資料、文化史資料，以及對數學家的訪問記錄，等等，都是重要的研究對象，其中數學原始文獻是最常用且最重要的第一手研究資料。從研究目標來說，可以研究數學思想、方法、理論、概念的演變史；可以研究數學科學與人類社會的互動關係；可以研究數學思想的傳播與交流史；可以研究數學家的生平等等。

1、數學史所研究的內容是：

1.數學史研究方法論問題

2.數學史通史

3.數學分科史

4.不同國家、民族、地區的數學史及其比較

5.不同時期的斷代數學史

6.數學家傳記

7.數學思想、概念、數學方法發展的歷史

8.數學發展與其他科學、社會現象之間的關係

9.數學教育史

10.數學史文獻學

2、按其研究的範圍又可分為內史和外史：

1.內史：從數學內在的原因來研究數學發展的歷史；

2.外史：從外在的社會原因來研究數學發展與其他社會因素間的關係。

數學發展具有階段性，因此研究者根據一定的原則把數學史分成若干時期。學術界通常將數學發展劃分為以下五個時期：

1.數學萌芽期（公元前600年以前）；

2.初等數學時期（公元前600年至17世紀中葉）；

3.變數數學時期（17世紀中葉至19世紀20年代）；

4.近代數學時期（19世紀20年代至第二次世界大戰）；

5.現代數學時期（20世紀40年代以來）。

數學發展至今，不知道經歷了多少人的嘔心瀝血，把數學歷史上發生的大事的年表列出：

推薦約公元前3000年 埃及象形數字

公元前2400～前1600年 早期巴比倫泥版楔形文字，採用60進位值制記數法。已知勾股定理

公元前1850～前1650年　埃及紙草書（莫斯科紙草書與萊茵德紙草書），使用10進非位值制記數法

公元前1400～前1100年 中國殷墟甲骨文，已有10進位記數法

周公（公元前11世紀)、商高時代已知勾三、股四、弦五

約公元前600年　希臘泰勒斯開始了命題的證明

約公元前540年 希臘畢達哥拉斯學派，發現勾股定理，並導致不可通約量的發現

約公元前500年 印度《繩法經》中給出√2相當精確的值，並知勾股定理

約公元前460年 希臘智人學派提出幾何作圖三大問題：化圓為方、三等分角和二倍立方

約公元前450年 希臘埃利亞學派的芝諾提出悖論

公元前430年 希臘安提豐提出窮竭法

約公元前380年 希臘柏拉圖在雅典創辦“學園”，主張通過幾何的學習培養邏輯思維能力

公元前370年 希臘歐多克索斯創立比例論

約公元前335年 歐多莫斯著《幾何學史》

中國籌算記數，採用十進位值制

約公元前300年 希臘歐幾里得著《幾何原本》，是用公理法建立演繹數學體系的最早典範

公元前287～前212年 希臘阿基米德，確定了大量複雜幾何圖形的面積與體積；給出圓周率的上下界；提出用力學方法推測問題答案，隱含近代積分論思想

公元前230年 希臘埃拉托塞尼發明“篩法”

公元前225年 希臘阿波羅尼奧斯著《圓錐曲線論》

約公元前150年 中國現存最早的數學書《算數書》成書（1983～1984年間在湖北江陵出土）

約公元前100年 中國《周髀算經》成書，記述了勾股定理

中國古代最重要的數學著作《九章算術》經歷代增補修訂基本定形（一說成書年代為公元 50～100年間），其中正負數運演演算法則、分數四則運算、線性方程組解法、比例計算與線性插值法盈不足術等都是世界數學史上的重要貢獻

約公元62年 希臘海倫給出用三角形三邊長表示面積的公式（海倫公式）

約公元150年 希臘托勒密著《天文學》，發展了三角學

約公元250年 希臘丟番圖著《算術》，處理了大量不定方程問題，並引入一系列縮寫符號，是古希臘代數的代表作

約公元263年 中國劉徽註解《九章算術》，創割圓術，計算圓周率，證明圓面積公式，推導四面體及四稜錐體積等，包含有極限思想

約公元300年 中國《孫子算經》成書，系統記述了籌算記數制，卷下“物不知數”題是孫子剩餘定理的起源

公元320年 希臘帕普斯著《數學彙編》，總結古希臘各家的研究成果，並記述了“帕普斯定理”和旋轉體體積計演演算法

公元410年 希臘許帕提婭，歷史上第一位女數學家，曾註釋歐幾里得、丟番圖等人的著作

公元462年 中國祖沖之算出圓周率在 3.1415926與3.1415927之間，並以22/7為約率，355/113為密率（現稱祖率）

中國祖沖之和他的兒子祖暅提出“冪勢既同則積不容異”的原理，現稱祖暅原理，相當於西方的卡瓦列里原理（1635）

公元499年 印度阿耶波多著《阿耶波多文集》，總結了當時印度的天文、算術、代數與三角學知識。已知π=3.1416，嘗試以連分數解不定方程

公元600年 中國劉焯首創等間距二次內插公式，后發展出不等間距二次內插法（僧一行，724）和三次內插法（郭守敬，1280）

約公元625年 中國王孝通著《緝古算經》，是最早提出數字三次方程數值解法的著作

公元628年 印度婆羅摩笈多著《婆羅摩歷算書》，已知圓內接四邊形面積計演演算法，推進了一、二次不定方程的研究

公元656年 中國李淳風等註釋十部算經，后通稱《算經十書》

公元820年 阿拉伯花拉子米著《代數學》，以二次方程求解為主要內容，12世紀該書被譯成拉丁文傳入歐洲

約公元870年 印度出現包括零的十進位數碼，後傳入阿拉伯演變為現今的印度－阿拉伯數碼

約公元1050年 中國賈憲提出二項式係數表（現稱賈憲三角和增乘開方法）

公元1100年 阿拉伯奧馬·海亞姆首創用兩條圓錐曲線的交點來表示三次方程的根

公元1150年 印度婆什迦羅第二著《婆什迦羅文集》為中世紀印度數學的代表作，其中給出二元不定方程x⒉=1+py⒉若干特解，對負數有所認識，並使用了無理數

公元1202年 義大利L.斐波那契著《算盤書》，向歐洲人系統地介紹了印度－阿拉伯數碼及整數、分數的各種演演算法

公元1247年 中國秦九韶著《數書九章》，創立解一次同餘式的大衍求一術和求高次方程數值解的正負開方術，相當於西方的霍納法（1819）

公元1248年 中國李冶著《測圓海鏡》，是中國現存第一本系統論述天元術的著作

約公元1250年 阿拉伯納西爾丁·圖西開始使三角學脫離天文學而獨立，將歐幾里得《幾何原本》譯為阿拉伯文

公元1303年 中國朱世傑著《四元玉鑒》，將天元術推廣為四元術，研究高階等差數列求和問題

公元1325年 英國T.布雷德沃丁將正切、餘切引入三角計算

公元14世紀 珠算在中國普及

約公元1360年 法國N.奧爾斯姆撰《比例演演算法》，引入分指數概念，又在《論圖線》等著作中研究變化與變化率，創圖線原理，即用經、緯度（相當於橫、

縱坐標）表示點的位置並進而討論函數圖像

公元1427年 阿拉伯卡西著《算術之鑰》，系統論述算術、代數的原理、方法，並在《圓周論》中求出圓周率17位準確數字

公元1464年 德國J.雷格蒙塔努斯著《論一般三角形》，為歐洲第一本系統的三角學著作，其中出現正弦定律

公元1482年 歐幾里得《幾何原本》（拉丁文譯本)首次印刷出版

公元1489年 捷克韋德曼最早使用符號+、－表示加、減運算

公元1545年 義大利G.卡爾達諾的《大術》出版，載述了S·費羅（1515）、N.塔爾塔利亞（1535）的三次方程解法和L.費拉里（1544）的四次方程解法

公元1572年　義大利R.邦貝利的《代數學》出版，指出對於三次方程的不可約情形，通過虛數運算必可得三個實根，給出初步的虛數理論

公元1585年　荷蘭S.斯蒂文創設十進分數（小數)的記法

公元1591年 法國F.韋達著《分析方法入門》，引入大量代數符號，改良三、四次方程解法，指出根與係數的關係，為符號代數學的奠基者

公元1592年 中國程大位寫成《直指演演算法統宗》，詳述算盤的用法，載有大量運算口訣，該書明末傳入日本、朝鮮

公元1606年 中國徐光啟和利瑪竇合作將歐幾里得《幾何原本》前六卷譯為中文

公元1614年 英國J.納皮爾創立對數理論

公元1615年 德國開普勒著《酒桶新立體幾何》，有求酒桶體積的方法，是阿基米德求積方法向近代積分法的過渡

公元1629年 荷蘭吉拉爾最早提出代數基本定理

法國費馬已得解析幾何學要旨，並掌握求極大極小值方法

公元1635年 義大利（F.）B.卡瓦列里建立“不可分量原理”

公元1637年 法國R.笛卡兒的《幾何學》出版，創立解析幾何學

法國費馬提出“費馬大定理”

公元1639年 法國G.德扎格著《試論處理圓錐與平面相交情況初稿》，為射影幾何先驅

公元1640年 法國B.帕斯卡發表《圓錐曲線論》

公元1642年 法國B.帕斯卡發明加減法機械計算機

公元1655年 英國J.沃利斯著《無窮算術》，導入無窮級數與無窮乘積，首創無窮大符號∞

公元1657年 荷蘭C.惠更斯著《論骰子遊戲的推理》，引入數學期望概念，是概率論的早期著作。在此以前B.帕斯卡、費馬等已由處理賭博問題而開始考慮概率理論

公元1665年 英國I.牛頓一份手稿中已有流數術的記載，這是最早的微積分學文獻，其後他在《無窮多項方程的分析》（1669年撰，1711年發表）、《流數術方法與無窮級數》（1671年撰，1736年發表）等著作中進一步發展流數術並建立微積分基本定理

公元1666年　德國G.W.萊布尼茨寫成《論組合的技術》，孕育了數理邏輯思想

公元1670年　英國I.巴羅著《幾何學講義》，引進“微分三角形”概念

約公元1680年 日本關孝和始創和算，引入行列式概念，開創“圓理”研究

公元1684年 德國G.W.萊布尼茨在《學藝》上發表第一篇微分學論文《一種求極大極小與切線的新方法》，兩年後又發表第一篇積分學論文，創用積分符號

公元1687年 英國I. 牛頓的 《自然哲學的數學原理》出版，首次以幾何形式發表其流數術

公元1689年　瑞士約翰第一·伯努利提出“最速降曲線”問題，后導致變分法的產生

法國 G.-F.-洛必達出版《無窮小分析》，其中載有求極限的洛必達法則

公元1707年 英國I.牛頓出版《廣義算術》，闡述了代數方程理論

公元1713年 瑞士雅各布第一·伯努利的《猜度術》出版，載有伯努利大數律

公元1715年 英國B.泰勒出版《正的和反的增量方法》，內有他1712年發現的把函數展開成級數的泰勒公式

公元1722年　法國A.棣莫弗給出公式（cos φ+i sin φ）^n =cos nφ+ i sin nφ

公元1730年　蘇格蘭J.斯特林發表《微分法，或關於無窮級數的簡述》，其中給出了Ν！的斯特林公式

公元1731年　法國A.－C.克萊羅著《關於雙重曲率曲線的研究》，開創了空間曲線的理論

公元1736年　瑞士L.歐拉解決了柯尼斯堡七橋問題

公元1742年　英國C.馬克勞林出版《流數通論》，試圖用嚴謹的方法來建立流數學說，其中給出了馬克勞林展開

公元1744年　瑞士L.歐拉著《尋求具有某種極大或極小性質的曲線的技巧》，標誌著變分法作為一個新的數學分支的誕生

公元1747年　法國J.le R. 達朗貝爾發表《弦振動研究》，導出了弦振動方程，是偏微分方程研究的開端

公元1748年　瑞士L.歐拉出版《無窮小分析引論》，與後來發表的《微分學》（1755）和《積分學》（1770）一起，以函數概念為基礎綜合處理微積分理論，給出了大量重要的結果，標誌著微積分發展的新階段

公元1750年　瑞士G.克萊姆給出解線性方程組的克萊姆法則

瑞士L.歐拉發表多面體公式:V-E+F =2

公元1770年　法國J.－L.拉格朗日深入探討代數方程根式求解問題，考慮有理函數當變數發生置換時所取值的個數，成為置換群論的先導

德國J.H.朗伯開創雙曲函數的全面研究

公元1777年　法國G.-L.L布豐提出投針問題，是幾何概率理論的早期研究

公元1779年　法國□.貝祖著《代數方程的一般理論》，系統論述消元法理論

公元1788年　法國J.－L.拉格朗日的《分析力學》出版，使力學分析化，並總結了變分法的成果

公元1794年　法國A.－M.勒讓德的《幾何學基礎》出版，是當時標準的幾何教科書

法國建立巴黎綜合工科學校和巴黎高等師範學校

公元1795年　法國G.蒙日發表《關於把分析應用於幾何的活頁論文》，成為微分幾何學先驅

公元1797年　法國J.-L.拉格朗日著《解析函數論》，主張以函數的冪級數展開為基礎建立微積分理論

挪威C.韋塞爾最早給出複數的幾何表示

公元1799年 法國G.蒙日出版《畫法幾何學》，使畫法幾何成為幾何學的一個專門分支

德國C.F.高斯給出代數基本定理的第一個證明

公元1799～1825年　法國P.-S.拉普拉斯的5卷巨著《天體力學》出版，其中包含了許多重要的數學貢獻，如拉普拉斯方程、位勢函數等

公元1801年　德國C.F.高斯的《算術研究》出版，標誌著近代數論的起點

公元1802年　法國J.E.蒙蒂克拉與拉朗德合撰的《數學史》共4卷全部出版，成為最早的較系統的數學史著作

公元1807年　法國J.－B.－J.傅里葉在熱傳導研究中提出任意函數的三角級數表示法（傅里葉級數），他的思想總結在1822年發表的《熱的解析理論》中

公元1810年　法國J.－D.熱爾崗創辦《純粹與應用數學年刊》，這是最早的專門數學期刊

公元1812年　英國劍橋分析學會成立

法國 P.-S.拉普拉斯著《概率的解析理論》，提出概率的古典定義，將分析工具引入概率論

公元1814年　法國 A.-L.柯西宣讀複變函數論第一篇重要論文《關於定積分理論的報告》（1827年正式發表），開創了複變函數論的研究

公元1817年　捷克B.波爾查諾著《純粹分析的證明》，首次給出連續性、導數的恰當定義，提出一般級數收斂性的判別準則

公元1818年　法國S.-D.泊松導出波動方程解的“泊松公式”

公元1821年　法國A.-L.柯西出版《代數分析教程》，引進不一定具有解析表達式的函數概念；獨立於B.波爾查諾提出極限、連續、導數等定義和級數收斂判別準則，是分析嚴密化運動中第一部影響深遠的著作

公元1822年　法國J.－V.彭賽列著《論圖形的射影性質》，奠定了射影幾何學基礎

公元1826年　挪威N.H.阿貝爾著《關於很廣一類超越函數的一個一般性質》，開創了橢圓函數論研究

德國A.L.克雷爾創辦《純粹與應用數學雜誌》

法國J.-D.熱爾崗與J.-V.彭賽列各自建立對偶原理

公元1827年　德國C.F.高斯著《關於曲面的一般研究》，開創曲面內蘊幾何學

德國A.F.麥比烏斯著《重心演算》，引進齊次坐標，與J.普呂克等開闢了射影幾何的代數方向

公元1828年　英國G.格林著《數學分析在電磁理論中的應用》，發展位勢理論

公元1829年 德國C.G.J.雅可比著《橢圓函數論新基礎》，是橢圓函數理論的奠基性著作

俄國Н.И.羅巴切夫斯基發表最早的非歐幾何論著《論幾何基礎》

公元1829～1832年　法國E.伽羅瓦徹底解決代數方程根式可解性問題，確立了群論的基本概念

公元1830年 英國G.皮科克著《代數通論》，首創以演繹方式建立代數學，為代數中更抽象的思想鋪平了道路

公元1832年　匈牙利J.波爾約發表《絕對空間的科學》，獨立於Н.И.羅巴切夫斯基提出了非歐幾何思想

瑞士J.施泰納著《幾何形的相互依賴性的系統發展》，利用射影概念從簡單結構構造複雜結構，發展了射影幾何

公元1836年　法國J.劉維爾創辦法文的《純粹與應用數學雜誌》

公元1837年　德國P.G.L.狄利克雷提出現今通用的函數定義（變數之間的對應關係)

公元1840年　法國 A.-L.柯西證明了微分方程初值問題解的存在性

公元1841～1856年　德國K.（T.W.）外爾斯特拉斯關於分析嚴密化的工作，主張將分析建立在算術概念的基礎之上，給出極限的ε－δ說法和級數一致收斂性概

念；同時在冪級數基礎上建立複變函數論

公元1843年　英國W.R.哈密頓發現四元數

公元1844年　德國E.E.庫默爾創立理想數的概念

德國H.G.格拉斯曼出版《線性擴張論》。建立Ν個分量的超複數系，提出了一般的Ν維幾何的概念

公元1847年　德國K.G.C.von 施陶特著《位置的幾何學》，不依賴度量概念建立射影幾何體系

公元1849～1854年　英國的A.凱萊提出抽象群概念

公元1851年 德國（G.F.）B.黎曼著《單複變函數的一般理論基礎》，給出單值解析函數的黎曼定義，創立黎曼面的概念，是複變函數論的一篇經典性論文

公元1854年　德國（G.F.）B.黎曼著《關於幾何基礎的假設》，創立Ν維流形的黎曼幾何學

英國G.布爾出版《思維規律的研究》，建立邏輯代數（即布爾代數）

公元1855年　英國A.凱萊引進矩陣的基本概念與運算

公元1858年　德國（G.F.）B.黎曼給出ζ函數的積分表示與它滿足的函數方程，提出黎曼猜想德國A. F. 麥比烏斯發現單側曲面（麥比烏斯帶）

公元1859年　中國李善蘭與英國的偉烈亞力合譯的《代數學》、《代微積拾級》以及《幾何原本》后9卷中文本出版，這是翻譯西方近代數學著作的開始

中國李善蘭建立了著名的組合恆等式（李善蘭恆等式）

公元1861年 德國K.（T.W.）外爾斯特拉斯在柏林講演中給出連續但處處不可微函數的例子

公元1863年　德國P.G.L.狄利克雷出版《數論講義》，是解析數論的經典文獻

公元1865年　倫敦數學會成立，是歷史上第一個成立的數學會

公元1866年　俄國П.Л.切比雪夫利用切比雪夫不等式建立關於獨立隨機變數序列的大數律，成為概率論研究的中心課題

公元1868年　義大利E.貝爾特拉米著《論非歐幾何學的解釋》，在偽球面上實現羅巴切夫斯基幾何，這是第一個非歐幾何模型

德國（G.F.）B.黎曼的《用三角級數表示函數的可表示性》正式發表，建立了黎曼積分理論

公元1871年　德國（C.）F.克萊因在射影空間中適當引進度量而得到雙曲幾何與橢圓幾何，這是不用曲面而獲得的非歐幾何模型

德國G.（F.P.）康托爾在三角級數表示的惟一性研究中首次引進了無窮集合的概念，並在以後的一系列論文中奠定了集合論的基礎

公元1872年　德國（C.）F.克萊因發表《埃爾朗根綱領》，建立了把各種幾何學看作為某種變換群的不變數理論的觀點，以群論為基礎統一幾何學

實數理論的確立：G.（F.P.）康托爾的基本序列論；J.W.R.戴德金的分割論；K.(T.W.)外爾斯特拉斯的單調序列論

公元1873年　法國C.埃爾米特證明e的超越性

公元1874年　挪威M.S.李開創連續變換群的研究，現稱李群理論

公元1879年　德國（F.L.）G.弗雷格出版《概念語言》，建立量詞理論，給出第一個嚴密的邏輯公理體系，后又出版《算術基礎》（1884）等著作，試圖把數學建立在邏輯的基礎上

公元1881～1884年　德國（C.)F.克萊因與法國（J.－）H.龐加萊創立自守函數論

公元1881～1886年　法國（J.－）H.龐加萊關於微分方程確定的曲線的論文，創立微分方程定性理論

公元1882年 德國M.帕施給出第一個射影幾何公理系統

德國F.von林德曼證明π的超越性

公元1887年　法國（J.－）G.達布著《曲面的一般理論》，發展了活動標架法

公元1889年　義大利G.皮亞諾著《算術原理新方法》，給出自然數公理體系

公元1894年　荷蘭T.（J.）斯蒂爾傑斯發表《連分數的研究》，引進新的積分（斯蒂爾傑斯積分）

公元1895年　法國（J.－）H.龐加萊著《位置幾何學》，創立用剖分研究流形的方法，為組合拓撲學奠定基礎

德國F.G.弗羅貝尼烏斯開始群的表示理論的系統研究

公元1896年　德國H.閔科夫斯基著《數的幾何》，創立系統的數的幾何理論

法國J.（-S.）阿達馬與瓦里-布桑證明素數定理

公元1897年　第一屆國際數學家大會在瑞士蘇黎世舉行

公元1898年　英國K.皮爾遜創立描述統計學

公元1899年　德國D.希爾伯特出版《幾何基礎》，給出歷史上第一個完備的歐幾里得幾何公理系統，開創了公理化方法，並預示了數學基礎的形式主義觀點

公元1900年　德國D.希爾伯特在巴黎第二屆國際數學家大會上作題為《數學問題》的報告。提出了23個著名的數學問題

1、無理數

大約公元前5世紀，不可通約量的發現導致了畢達哥拉斯悖論。當時的畢達哥拉斯學派重視自然及社會中不變因素的研究，把幾何、算術、天文、音樂稱為“四藝”，在其中追求宇宙的和諧規律性。他們認為：宇宙間一切事物都可歸結為整數或整數之比，畢達哥拉斯學派的一項重大貢獻是證明了勾股定理，但由此也發現了一些直角三角形的斜邊不能表示成整數或整數之比（不可通約)的情形，如直角邊長均為1的直角三角形就是如此。這一悖論直接觸犯了畢氏學派的根本信條，導致了當時認識上的“危機”，從而產生了第一次數學危機。

到了公元前370年，這個矛盾被畢氏學派的歐多克斯通過給比例下新定義的方法解決了。他的處理不可通約量的方法，出現在歐幾里得《原本》第5卷中。歐多克斯和狄德金於1872年給出的無理數的解釋與現代解釋基本一致。今天中學幾何課本中對相似三角形的處理，仍然反映出由不可通約量而帶來的某些困難和微妙之處。第一次數學危機對古希臘的數學觀點有極大衝擊。這表明，幾何學的某些真理與算術無關，幾何量不能完全由整數及其比來表示，反之卻可以由幾何量來表示出來，整數的權威地位開始動搖，而幾何學的身份升高了；危機也表明，直覺和經驗不一定靠得住，推理證明才是可靠的，從此希臘人開始重視演繹推理，並由此建立了幾何公理體系，這不能不說是數學思想上的一次巨大革命！

2、無窮小

18世紀，微分法和積分法在生產和實踐上都有了廣泛而成功的應用，大部分數學家對這一理論的可靠性是毫不懷疑的。

1734年，英國哲學家、大主教貝克萊發表《分析學家或者向一個不信正教數學家的進言》，矛頭指向微積分的基礎--無窮小的問題，提出了所謂貝克萊悖論。他指出：“牛頓在求的導數時，採取了先給x以增量0，應用二項式（x+0)n，從中減去以求得增量，併除以0以求出的增量與x的增量之比，然後又讓0消逝，這樣得出增量的最終比。這裡牛頓做了違反矛盾律的手續──先設x有增量，又令增量為零，也即假設x沒有增量。”他認為無窮小dx既等於零又不等於零，召之即來，揮之即去，這是荒謬，“dx為逝去量的靈魂”。無窮小量究竟是不是零，無窮小及其分析是否合理？由此而引起了數學界甚至哲學界長達一個半世紀的爭論。導致了數學史上的第二次數學危機。

18世紀的數學思想的確是不嚴密的，直觀的強調形式的計算而不管基礎的可靠。其中特別是：沒有清楚的無窮小概念，從而導數、微分、積分等概念也不清楚，無窮大概念不清楚，以及發散級數求和的任意性，符號的不嚴格使用，不考慮連續就進行微分，不考慮導數及積分的存在性以及函數可否展成冪級數等等。

直到19世紀20年代，一些數學家才比較關注於微積分的嚴格基礎。從波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里赫利等人的工作開始，到威爾斯特拉斯、戴德金和康托的工作結束，中間經歷了半個多世紀，基本上解決了矛盾，為數學分析奠定了嚴格的基礎。

3、羅素悖論

數學史上的第三次危機，是由1897年的突然衝擊而出現的，從整體來看，還沒有解決到令人滿意的程度。這次危機是由於在康托的一般集合理論的邊緣發現悖論造成的。由於集合概念已經滲透到眾多的數學分支，並且實際上集合論成了數學的基礎，因此集合論中悖論的發現自然地引起了對數學的整個基本結構的有效性的懷疑。

1897年，福爾蒂揭示了集合論中的第一個悖論。兩年後，康托發現了很相似的悖論。1902年，羅素又發現了一個悖論，它除了涉及集合概念本身外不涉及別的概念。羅素悖論曾被以多種形式通俗化。其中最著名的是羅素於1919年給出的，它涉及到某村理髮師的困境。理髮師宣布了這樣一條原則：他給所有不給自己刮臉的人刮臉，並且，只給村裡這樣的人刮臉。當人們試圖回答下列疑問時，就認識到了這種情況的悖論性質：“理髮師是否自己給自己刮臉”？如果他不給自己刮臉，那麼他按原則就該為自己刮臉；如果他給自己刮臉，那麼他就不符合他的原則。

羅素悖論使整個數學大廈動搖了。無怪乎弗雷格在收到羅素的信之後，在他剛要出版的《算術的基本法則》第2卷末尾寫道：“一位科學家不會碰到比這更難堪的事情了，即在工作完成之時，它的基礎垮掉了，當本書等待印出的時候，羅素先生的一封信把我置於這種境地”。於是終結了近12年的刻苦鑽研。承認無窮集合，承認無窮基數，就好像一切災難都出來了，這就是第三次數學危機的實質。儘管悖論可以消除，矛盾可以解決，然而數學的確定性卻在一步一步地喪失。現代公理集合論的大堆公理，簡直難說孰真孰假，可是又不能把它們都消除掉，它們跟整個數學是血肉相連的。所以，第三次危機表面上解決了，實質上更深刻地以其它形式延續著。