高等數學

本套書是以教育部制定的《高職高專教育高等數學課程教學基本要求》及《高職高專教育專業人才培養目標及規格》為依據，為了適應我國高等職業教育培養高技能應用型人才的需要，順應高等職業教育大眾化發展的潮流，在認真總結和吸收全國高職院校高等數學課程改革經驗的基礎上，根據當前高職院校學生學習的實際情況和可持續發展的要求編寫而成的.

本套書共分為上、下兩冊，上冊的主要內容為函數的極限與連續、導數與微分、微分中值定理及其應用、不定積分、定積分及其應用；下冊的主要內容為常微分方程、向量代數與空間解析幾何、多元函數微分學、多元函數積分學、級數、線性代數初步、Matlab初步.

本套書可作為高職高專院校工科類各專業高等數學課程的通用教材，也可作為工程技術人員和數學愛好者的參考書.

第1章 函數的極限與連續 1

1.1 函數及其性質 1

1.1.1 函數 1

1.1.2 函數的幾種特性 4

同步練習1.1 6

1.2 初等函數 7

1.2.1 基本初等函數 7

1.2.2 複合函數 9

1.2.3 初等函數 10

同步練習1.2 10

*1.3 數學模型方法概述 10

1.3.1 數學模型的含義 11

1.3.2 數學模型的建立過程 11

1.3.3 函數模型的建立 12

同步練習1.3 13

1.4 極限的概念 14

1.4.1 數列極限的概念 14

1.4.2 函數的極限 15

1.4.3 無窮小量與無窮大量 18

同步練習1.4 20

1.5 極限的運算 20

1.5.1 極限的性質 20

1.5.2 極限的四則運演演算法則 21

1.5.3 兩個重要極限 24

1.5.4 無窮小的比較 27

同步練習1.5 28

1.6 函數的連續性 29

1.6.1 函數連續性的概念 29

1.6.2 函數的間斷點及其類型 31

1.6.3 初等函數的連續性 33

1.6.4 閉區間上連續函數的性質 35

同步練習1.6 36

本章小結 38

單元測試1 39

第2章 導數與微分 41

2.1 導數 41

2.1.1 兩個經典問題 41

2.1.2 導數的概念 42

2.1.3 導數的意義 46

2.1.4 可導與連續的關係 47

同步練習2.1 48

2.2 函數的求導法則 48

2.2.1 導數的四則運演演算法則 48

2.2.2 反函數的求導法則 50

2.2.3 複合函數的求導法則 51

2.2.4 初等函數的導數 53

同步練習2.2 55

2.3 隱函數及參數方程所確定的函數的求導法則 55

2.3.1 隱函數的求導法則 55

2.3.2 對數求導法 57

2.3.3 由參數方程所確定的函數求導法 57

同步練習2.3 59

2.4 高階導數 60

2.4.1 高階導數的概念 60

2.4.2 求導舉例 61

同步練習2.4 63

2.5 微分 64

2.5.1 微分的概念 64

2.5.2 微分的幾何意義 67

2.5.3 微分的運演演算法則 67

2.5.4 微分在近似計算中的應用 70

同步練習2.5 72

本章小結 72

單元測試2 74

第3章 微分中值定理及其應用 77

3.1 微分中值定理 77

3.1.1 羅爾定理 77

3.1.2 拉格朗日中值定理 78

3.1.3 柯西定理 80

同步練習3.1 81

3.2 洛必達法則 81

3.2.1 “00”和“∞∞”基本未定式 81

3.2.2 其他未定式 83

同步練習3.2 84

3.3 函數的單調性與極值 84

3.3.1 函數的單調性 84

3.3.2 函數的極值 86

徠3.3.3 函數的最值 88

同步練習3.3 90

*3.4 曲率 91

3.4.1 曲率的概念 91

3.4.2 弧長的微分公式 92

3.4.3 曲率的計算公式 93

同步練習3.4 94

3.5 函數圖形的描繪 94

3.5.1 曲線的凹向與拐點 94

3.5.2 曲線的漸近線 96

3.5.3 函數圖形的描繪 97

同步練習3.5 98

本章小結 99

單元測試3 101

第4章 不定積分 103

4.1 原函數與不定積分 103

4.1.1 原函數與不定積分的概念 103

4.1.2 不定積分的性質 104

4.1.3 不定積分的基本積分公式 105

同步練習4.1 107

4.2 換元積分法 108

4.2.1 第一類換元積分法(湊微分法) 108

4.2.2 第二類換元積分法 112

同步練習4.2 115

4.3 分部積分法 116

同步練習4.3 119

本章小結 120

單元測試4 121

第5章 定積分及其應用 124

5.1 定積分的概念與性質 124

5.1.1 實際背景問題 124

5.1.2 定積分的定義 126

5.1.3 定積分的幾何意義 127

5.1.4 定積分的性質 127

同步練習5.1 129

5.2 微積分基本定理 130

5.2.1 變上限的定積分 131

5.2.2 牛頓-萊布尼茲公式 132

同步練習5.2 134

5.3 定積分的計算方法 135

5.3.1 定積分的換元法 135

5.3.2 定積分的分部積分法 137

同步練習5.3 138

5.4 廣義積分 139

5.4.1 無窮區間上的廣義積分 139

5.4.2 無界函數的廣義積分 141

同步練習5.4 143

5.5 定積分的幾何應用 143

5.5.1 微元法 143

5.5.2 用定積分求平面圖形的面積 144

5.5.3 用定積分求曲線的弧長 147

5.5.4 用定積分求旋轉體的體積 148

同步練習5.5 150

5.6 定積分的物理應用 151

5.6.1 利用定積分計算功 151

5.6.2 用定積分求液體對平面薄板的壓力 153

5.6.3 轉動慣量 153

同步練習5.6 154

本章小結 154

單元測試5 156

附錄A 常用積分公式表 159

附錄B 習題答案與提示 169

參考文獻 181

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