高等數學

本教材突破傳統教材體系，精選內容，主次分明，刪減枝節，注重使用，講究實效·本教材可根據高職高專不同專業、不同的學生類別選學不同的內容，供選學的面寬·所選的例題和習題均以幫助學生理解概念、掌握方法為目的，刪除單純性技巧和難度較大的習題，增加富有啟發性、應用性、為專業服務的題目·本書為立體化教材，在出版該教材同時，還編寫並出版了與該教材配套的輔助教材《高等數學與工程數學習題課指導》，內容包括每章小結，常見問題分類及解法，習題答案及典型習題解答，自我測驗等·另外，還出版了與該教材配套的電子教案，免費贈送教師使用，同時還建有專門的網站，為師生提供網上服務。本書可作為三年制或兩年制高職高專院校、成人高校和本科院校開辦的二級院校工程及經濟類相關專業的數學教材，同時對各專業技術人員也有較高的參考價值。全書分一元函數微積分學、多元函數微積分基礎、常微分方程基礎、無窮級數基礎四篇，共九章·其內容涵蓋了高職高專院校各相關專業所必需的數學知識以及如何利用這些知識解決實際問題的方法·另外，本書還以數學實驗的形式，增加了利用數學軟體解決實際計算的內容，以供有條件的院校選學。

第一篇一元函數微積分學

第一章函數、極限與連續2

第一節函數2

一、函數的概念2

二、函數的幾種特性4

三、複合函數6

四、反函數7

五、初等函數7

六、建立函數關係舉例10

?七、經濟類函數舉例11

第二節數列及其極限16

一、數列的極限16

二、數列極限的四則運算17

三、無窮遞縮等比數列的求和公式18

四、數列極限的性質19

第三節函數的極限20

一、當x→∞時，函數f(x)的極限20

二、當x→x0時，函數f(x)的極限21

三、左極限與右極限22

四、函數極限的性質23

第四節無窮小與無窮大24

一、無窮小與無窮大的定義及其關係24

二、無窮小的性質26

第五節極限的運演演算法則27

第六節兩個重要的極限31

一、極限limx→0sinxx=131

二、極限limx→∞1 1xx=e32

第七節無窮小的比較33

第八節函數的連續性與間斷性36

一、函數連續性的概念36

二、函數的間斷點38

第九節初等函數的連續性41

一、初等函數的連續性41

二、閉區間上連續函數的性質43

?第十節數學實驗一Mathematica入門和求一元函數的極限45

一、Mathematica入門45

二、一元函數圖形的繪製48

三、求一元函數的極限49

第二章導數與微分55

第一節導數的概念55

一、變化率問題舉例55

二、導數的定義56

三、求導舉例57

四、導數的幾何意義58

五、函數的可導性與連續性的關係59

第二節函數的和、差、積、商的求導法則61

第三節複合函數的求導法則63

第四節初等函數的求導法64

一、反函數的導數64

二、初等函數求導問題66

?三、分段函數的導數66

第五節隱函數及參數方程所確定函數的求導法67

一、隱函數的導數67

二、冪指函數y=uv的導數(u>0)68

三、由參數方程所確定函數的求導法68

第六節高階導數69

第七節函數的微分71

一、微分的概念71

二、微分的運算73

三、近似計算74

?第八節數學實驗二用Mathematica求一元函數的導數76

一、學習Mathematica命令76

二、導數概念76

三、求一元函數的導數76

第三章導數應用79

第一節拉格朗日中值定理與函數單調性判定法79

一、拉格朗日中值定理79

二、函數單調性的判定性80

第二節函數的極值及判定82

第三節函數的最大值和最小值85

?第四節曲線的凸凹性與拐點88

?第五節函數圖形的描繪90

?第六節洛必達法則93

?第七節導數在經濟問題中的應用96

一、邊際分析96

二、彈性分析98

第四章一元函數積分學104

第一節不定積分的概念與性質104

一、原函數104

二、不定積分104

三、不定積分的幾何意義105

四、基本的積分公式106

五、積分的基本運演演算法則106

第二節不定積分法108

一、第一類換元積分法108

二、第二類換元積分法111

三、分部積分法113

第三節定積分的概念與性質116

一、兩個實例116

二、定積分的定義117

三、定積分的幾何意義118

四、定積分的性質120

第四節牛頓？萊布尼茲公式122

一、積分上限函數122

二、牛頓？萊布尼茲公式124

第五節定積分的換元法與分部積分法126

一、定積分的換元法126

二、定積分的分部積分法128

第六節廣義積分130

?第七節數學實驗三用Mathematica計算積分131

一、學習Mathematica命令131

二、求不定積分132

三、求定積分及廣義積分132

第五章定積分的應用134

第一節定積分的微元法134

第二節定積分在幾何中的應用135

一、平面圖形的面積135

二、旋轉體的體積138

?三、求平面曲線弧長139

?第三節定積分在物理中的應用141

一、變力做功142

二、液體壓力143

三、引力144

?第四節定積分在經濟問題中的簡單應用145

一、由邊際函數求總函數146

二、資本現值與投資問題147

第二篇多元函數微積分學基礎

第六章多元函數微分學基礎150

第一節空間解析幾何簡介150

一、空間直角坐標系150

二、曲面及其方程152

三、空間曲線及其方程154

?第二節向量的概念及向量的運算156

一、向量的概念156

二、向量的加法與減法157

三、數與向量的乘法157

四、向量的坐標表示法158

五、向量的數量積160

六、向量的向量積162

?第三節空間的平面、直線及常見二次曲面164

一、平面方程及兩平面間的夾角165

二、空間直線的方程及其夾角167

三、常用二次曲面及其方程169

第四節多元函數的概念175

一、二元函數的定義175

二、二元函數的幾何意義177

三、二元函數的極限和連續性177

第五節偏導數與全微分179

一、偏導數的定義及求法179

二、高階偏導數181

三、全微分181

第六節複合函數與隱函數微分法184

一、複合函數的求導法則184

二、全微分形式不變性186

三、隱函數的求導法187

第七節多元函數的極值188

一、多元函數的極值188

?二、條件極值190

第七章多元函數積分學基礎194

第一節二重積分的概念與性質194

一、兩個實例194

二、二重積分的定義195

三、二重積分的性質196

第二節二重積分的計算198

一、在直角坐標系下計算二重積分199

二、在極坐標系下計算二重積分202

第三節二重積分的應用205

一、體積205

二、平面薄片的質量206

三、平面薄片的重心207

?第四節三重積分209

一、三重積分的概念209

二、三重積分的計算方法210

?第五節曲線積分216

一、對弧長的曲線積分216

二、對坐標的曲線積分219

三、格林公式223

四、平面上的曲線積分與路徑無關的條件225

?第六節數學實驗四用Mathematica求偏導和計算二重積分228

一、學習Mathematica命令228

二、偏導數計算228

三、計算二重積分229

第三篇常微分方程基礎

第八章常微分方程232

第一節常微分方程的基本概念232

第二節一階微分方程235

一、可分離變數的微分方程235

二、齊次微分方程237

三、形如dydx=f(ax by c)的微分方程238

四、一階線性微分方程238

五、貝努利方程239

第三節高階微分方程的幾個特殊類型241

一、dnydxn=f(x)型的微分方程241

二、y″=f(x,y′)型的微分方程241

三、y″=f(y,y′)型微分方程242

?第四節二階線性微分方程243

一、解的結構243

二、常係數二階線性微分方程的解法245

第四篇無窮級數基礎

第九章無窮級數254

第一節數項級數的概念及其基本性質254

一、數項級數的概念254

二、數項級數的基本性質256

第二節數項級數的斂散性257

一、正項級數及其審斂法257

二、任意項級數的斂散性259

第三節冪級數261

一、函數項級數的概念261

二、冪級數及其收斂性261

三、冪級數的運算性質263

第四節函數的冪級數展開264

一、泰勒級數264

二、把函數展開成冪級數266

三、函數冪級數展開式的應用268

?第五節傅里葉級數269

一、三角級數和三角函數系的正交性269

二、周期為2π的函數的傅里葉級數270

三、正弦級數和餘弦級數272

?第六節周期為2l的函數展開成傅里葉級數273

一、周期為2l的函數的傅里葉級數273

二、傅里葉級數的複數形式274

參考文獻277