高等數學

本教材內容共分十一章：函數、極限與連續，導數與微分，導數與微分的應用，不定積分，定積分，常微分方程，空間解析幾何與向量代數，多元函數微分學，二重積分與曲線積分，無窮級數和數學實驗。

本教材可作為高職高專院校的教材，也可作為成人高校、夜大、職大和函授大學等層次的教學用書，亦可作為廣大自學者的自學用書

第一章函數、極限與連續1

第一節函數1

一、函數1

二、函數的基本特性2

三、初等函數4

四、建立函數關係舉例7

習題119

第二節函數的極限10

一、數列的極限10

二、函數的極限11

習題1214

第三節極限的性質與運演演算法則15

一、極限的性質15

二、極限的運演演算法則15

三、兩個重要極限17

習題1320

第四節無窮小量與無窮大量21

一、無窮小量與無窮大量21

二、無窮小量的性質23

三、無窮小量的比較23

習題1425

第五節函數的連續性25

一、函數連續性的概念25

二、連續函數的運算27

三、閉區間上連續函數的性質28

四、函數的間斷點29

習題1531

本章知識小結31

自測題一33

第二章導數與微分35

第一節導數的概念35

一、導數的概念35

二、求導數舉例37

三、導數的意義38

四、可導與連續的關係39

習題2140

第二節導數的運算與導數公式41

一、導數的運算41

二、基本初等函數的導數公式45

習題2245

第三節函數的微分46

一、微分的概念46

二、微分的基本公式及運演演算法則48

習題2349

第四節隱函數及參數方程所確定的函

數的導數50

一、隱函數的求導法則50

二、參數方程所確定的函數的求導法則52

習題2453

第五節高 階導數54

一、高階導數的概念54

二、顯函數的高階導數55

三、隱函數及由參數方程所確定的函數的

二階導數55

習題2556

本章知識小結57

自測題二58

第三章導數與微分的應用60

第一節微分中值定理與洛必達法則60

一、微分中值定理60

二、洛必達法則63

習題3167

第二節函數的單調性、極值與最值68

一、函數的單調性68

二、函數的極值70

三、函數的最大值與最小值72

習題3274

第三節曲線的凹凸性與函數圖形的描繪75

一、曲線的凹凸性及其判別法75

二、曲線的拐點及其求法76

三、函數的漸近線77

四、函數圖形的描繪77

習題3379

第四節微分的應用79

一、微分在近似計算中的應用79

二、微分在誤差估計中的應用80

習題3481

第五節*曲線的弧微分與曲率81

一、曲線的弧微分81

二、曲率及其計算公式82

三、曲率半徑和曲率圓84

習題3585

本章知識小結86

自測題三87

第四章不定積分89

第一節不定積分的概念與性質89

一、原函數與不定積分89

二、不定積分的性質90

三、不定積分的幾何意義91

習題4191

第二節不定積分的基本公式與直接

積分法92

一、基本積分公式92

二、不定積分的運演演算法則93

習題4295

第三節換元積分法95

一、第一換元法（湊微分法）95

二、第二換元法99

習題43101

第四節分部積分法103

習題44105

本章知識小結105

自測題四107

第五章定積分109

第一節定積分的概念109

一、定積分問題的引例109

二、定積分的概念110

三、定積分的幾何意義111

習題51112

第二節定積分的性質112

習題52115

第三節微積分基本公式116

一、變速直線運動中位置函數與速度函數

之間的關係116

二、積分上限函數及其導數116

三、牛頓萊布尼茲公式117

習題53119

第四節定積分的換元積分法和分部

積分法120

一、定積分的換元積分法120

二、定積分的分部積分法122

習題54124

第五節反常積分125

一、無窮限的反常積分125

二、無界函數的反常積分127

習題55129

第六節定積分的應用130

一、定積分的元素法130

二、平面圖形的面積130

三、旋轉體的體積132

四、變力所做的功133

習題56134

本章知識小結136

自測題五137

第六章常微分方程139

第一節微分方程的基本概念139

一、微分方程139

二、微分方程的解139

習題61140

第二節一階微分方程140

一、可分離變數的微分方程141

二、一階線性微分方程143

習題62146

第三節二階線性常係數齊次微分方程146

一、二階線性微分方程解的結構146

二、二階常係數齊次線性微分方程

的解法148

習題63150

第四節二階線性常係數非齊次微分方程151

一、f（x）=Pn（x）型151

二、f（x）=Pn（x）eαx型152

三、f（x）=eαx（Acosβx+Bsinβx）型153

習題64155

第五節微分方程應用舉例155

習題65161

本章知識小結161

自測題六163

第七章空間解析幾何與向量代數164

第一節空間直角坐標系164

一、空間直角坐標系164

二、空間兩點間的距離165

習題71165

第二節向量及其線性運算165

一、向量的概念165

二、向量的加、減法166

三、向量的數乘166

習題72167

第三節向量的坐標167

一、向量的坐標167

二、向量的方向角和方向餘弦168

習題73169

第四節向量的數量積與向量積170

一、向量的數量積170

二、向量的向量積171

習題74173

第五節平面及其方程173

一、平面的點法式方程173

二、平面的一般方程174

三、兩平面間的位置關係175

四、點到平面的距離176

習題75176

第六節空間直線及其方程177

一、直線的點向式方程177

二、直線的參數式方程177

三、直線的一般式方程178

四、直線間的位置關係178

習題76179

第七節常見的空間曲面180

一、球面180

二、柱面180

三、旋轉曲面181

習題77182

本章知識小結183

自測題七185

第八章多元函數微分學187

第一節多元函數、二元函數的極限與

連續性187

一、多元函數的概念187

二、二元函數的極限與連續性188

習題81191

第二節偏導數191

一、偏導數的概念191

二、高階偏導數193

習題82194

第三節全微分及其在近似計算中的應用195

一、全微分的概念195

二、全微分在近似計算中的應用196

習題83197

第四節多元複合函數的偏導數197

一、複合函數偏導數的鏈式法則197

二、全微分形式的不變性199

三、隱函數的微分法200

習題84202

第五節多元函數的極值與最值202

一、二元函數的極值202

二、最大值與最小值204

三、條件極值204

習題85206

本章知識小結206

自測題八208

第九章二重積分與曲線積分210

第一節二重積分的概念與性質210

一、二重積分的概念210

二、二重積分的性質212

習題91213

第二節二重積分的計算及應用214

一、直角坐標系中二重積分的計算214

二、極坐標系中二重積分的計算218

三、二重積分的應用221

習題92224

第三節對弧長的曲線積分225

一、對弧長的曲線積分的概念225

二、對弧長的曲線積分的計算227

習題93228

第四節對坐標的曲線積分228

一、對坐標的曲線積分的概念與性質228

二、對坐標的曲線積分的計算230

三、兩類曲線積分之間的關係231

習題94232

第五節格林公式與平面上曲線積分與路徑無

關的條件232

一、格林公式232

二、平面上曲線積分與路徑無關的條件235

習題95237

本章知識小結237

自測題九238

第十章無窮級數240

第一節數項級數的概念與性質240

一、數項級數的基本概念240

二、數項級數的基本性質242

習題101243

第二節數項級數審斂法244

一、正項級數審斂法244

二、交錯級數審斂法246

三、絕對收斂與條件收斂247

習題102247

第三節冪級數248

一、函數項級數的概念248

二、冪級數及其斂散性248

三、冪級數的運算性質250

習題103252

第四節函數的冪級數展開式252

一、泰勒級數252

二、函數展開成冪級數253

三、冪級數在近似計算中的應用255

習題104257

第五節*傅里葉級數258

一、諧波分析與三角級數258

二、傅里葉級數259

三、函數f（x）在[0，π]上展開為正弦級數

與餘弦級數263

四、周期為2l的函數展開成傅里

葉級數264

習題105266

本章知識小結267

自測題十268

第十一章數學實驗270

實驗1Mathematica入門及使用270

一、Mathematica的工作環境270

二、Mathematica軟體的基本操作271

實驗2函數與圖形274

一、函數的定義274

二、一元函數（二維）作圖275

三、二元函數（三維）作圖278

習題112279

實驗3極限的運算280

一、作圖法求數列的極限280

二、函數的極限281

習題113282

實驗4方程求根282

習題114284

實驗5導數的運算284

一、函數的導數284

二、函數的微分285

習題115286

實驗6導數的應用286

一、討論可導函數的單調性286

二、求可導函數的極值點287

習題116288

實驗7積分的計算288

一、一元函數的積分288

二、二重積分290

習題117291

實驗8微分方程的求解291

習題118293

實驗9無窮級數的運算293

一、求級數的和293

二、冪級數的展開293

三、判斷級數的收斂性293

習題119294

實驗10*矩陣計算及其應用294

一、矩陣294

二、求解線性方程組296

習題1110297

部分習題答案298

附錄一常見曲線的圖形316

附錄二積分表318

附錄三Mathematica常用函數命令326

參考文獻329