高等數學

《高等數學（上冊）》是2017年人民郵電出版社出版的一本圖書，圖書的作者是同濟大學數學系。全書分為上、下兩冊。本書為上冊，是一元函數微積分部分，共四章，主要內容包括函數極限與連續，一元函數微分學及其應用，一元函數積分學及其應用，微分方程。每節前面配有課前導讀，核心知識點配備微課，每章後面附有章節測試和拓展閱讀。本書注重知識點的引入方法，使之符合認知規律，更易於讀者接受。同時，本書精鍊了主要內容，適當降低了學習難度，對部分內容調整了順序，使結構更加簡潔，思路更加清晰。本書還注重知識的連貫性，例題的多樣性和習題的豐富性、層次性，使讀者在學習數學知識點的同時拓寬了視野，欣賞數學之美。

本書可作為高等院校理工科類各專業的教材，也可作為社會從業人員的自學參考用書。

第一章　函數、極限與連續　1

第一節　集合與函數　1

一、集合的概念　1

二、常用函數　4

習題1-1　9

第二節　數列極限的定義與計算　10

一、數列極限的概念　10

二、數列極限的計算　13

習題1-2　15

第三節　函數極限的定義與計算　16

一、自變數趨於無窮大時的極限　16

二、自變數趨於有限值時的極限　18

三、函數極限的計算方法　21

習題1-3　23

第四節　極限性質　24

*一、利用極限定義證明　24

二、數列極限的性質　25

三、函數極限的性質　26

*四、極限運演演算法則的證明　28

習題1-4　30

第五節　兩個重要極限　30

一、夾逼定理　31

二、第一重要極限　33

三、單調有界收斂定理　35

四、第二重要極限　36

習題1-5　38

第六節　無窮小與無窮大　39

一、無窮小　40

二、無窮大　41

三、無窮小與無窮大的關係　42

四、無窮小的比較　42

五、等價無窮小的應用　44

習題1-6　45

第七節　函數的連續性及其性質　46

一、連續的概念　47

二、函數的間斷點　49

三、初等函數的連續性　52

四、閉區間上連續函數的性質　54

習題1-7　56

本章小結　59

章節測試一　61

拓展閱讀　63

第二章　一元函數微分學及其應用　65

第一節　導數的概念及基本求導公式　65

一、割線與切線　65

二、導數的定義　66

三、簡單函數的求導　67

四、左、右導數　68

五、切線與法線方程　69

六、函數的可導性與連續性的關係　70

七、函數的和、差、積、商的求導法則　71

八、反函數的求導法則　72

九、求導公式與基本求導法則　73

習題2-1　74

第二節　導數的計演演算法則　75

一、複合函數的求導法則　76

二、高階導數　78

三、隱函數的導數　81

四、由參數方程確定的函數的導數　82

*五、相關變化率　84

習題2-2　84

第三節　微分的概念與應用　88

一、微分的定義　88

二、基本初等函數的微分公式及微分法則　90

三、微分的幾何意義　92

四、近似計算　92

習題2-3　93

第四節微分中值定理及其應用　95

一、羅爾定理　96

二、拉格朗日(Lagrange)中值定理　98

三、柯西中值定理　100

四、洛必達(L′Hospital)法則　100

習題2-4　103

*第五節　泰勒中值定理　105

一、多項式逼近函數　105

二、麥克勞林公式　108

三、泰勒公式的應用　109

習題2-5　111

第六節　函數的性態與圖形　111

一、函數單調性的判別　112

二、函數的極值及其求法　115

三、曲線的凹凸性與拐點　118

四、曲線的漸近線　121

五、函數圖形的描繪　122

習題2-6　124

第七節　微分學的實際應用　126

一、最大值、最小值　126

二、曲率　128

習題2-7　133

本章小結　135

章節測試二　137

拓展閱讀　139

第三章　一元函數積分學及其應用　143

第一節不定積分的概念與性質　143

一、原函數　143

二、不定積分　143

三、基本積分公式　145

四、不定積分的性質　146

習題3-1　148

第二節　不定積分的換元法與分部法　149

一、第一類換元法(湊微分法)　149

二、第二類換元法　155

三、分部積分法　158

習題3-2　161

*第三節　有理函數的不定積分　164

一、真分式的分解　164

二、有理函數的不定積分　165

三、三角函數的有理式的不定積分　166

四、可化為有理函數的簡單無理根式的

不定積分　167

習題3-3　168

第四節　定積分的概念與性質　169

一、實例分析　170

二、定積分的定義　171

三、定積分的幾何意義　173

四、定積分的性質　174

習題3-4　177

第五節　微積分基本定理　178

一、變速直線運動的路程　178

二、積分上限函數　179

三、微積分基本定理　182

習題3-5　184

第六節　定積分的換元法和分部法　186

一、定積分的換元法　186

二、定積分的分部法　190

習題3-6　193

第七節　定積分的幾何應用與物理應用　195

一、平面圖形的面積　195

二、空間立體的體積　201

三、曲線的弧長　205

*四、定積分在物理上的應用舉例　207

習題3-7　209

第八節　反常積分　211

一、無限區間上的反常積分　211

二、無界函數的反常積分(瑕積分)　214

習題3-8　216

本章小結　217

章節測試三　219

拓展閱讀　221

第四章　微分方程　227

第一節　微分方程的概念　227

一、微分方程的引例　227

二、微分方程的基本概念　229

習題4-1　232

第二節　一階微分方程　233

一、可分離變數方程　233

二、齊次方程　234

三、一階線性微分方程　236

習題4-2　239

第三節　二階微分方程　240

一、可降階的二階微分方程　240

二、線性微分方程解的結構　242

三、二階常係數齊次線性微分方程的解法　244

*四、n　階常係數齊次線性微分方程的解法　247

五、二階常係數非齊次線性微分方程的解法　248

習題4-3　250

*第四節　微分方程的實際案例　252

一、一階微分方程的實際案例　252

二、二階微分方程的實際案例　255

習題4-4　258

本章小結　259

章節測試四　261

拓展閱讀　263

習題答案　266

同濟大學數學系始建於1945年，程其襄、楊武之、朱言鈞、樊映川、張國隆、陸振邦等知名學者曾在此任教，並留下了《高等數學》等有全國影響的優秀教材。