高等數學

本書是作者近年來在建設“高等數學”(高職高專)國家精品課程的教學實踐中，以培養應用型人才為目的，從打好基礎、培養能力、兼顧後續課程需要出發，在我們編寫的“高等數學”(專科)教材的基礎上，學習吸收國內外教材的優點，為適應我國各類高等職業技術教育“高等數學”的教學而編寫。

第1章函數、極限與連續1

1.1函數的概念與簡單性質1

1.1.1集合、常量與變數1

1.1.2函數的概念3

1.1.3函數的簡單性質5

1.1.4反函數和複合函數7

1.1.5初等函數8

習題1-113

1.2數列的極限15

1.2.1數列極限的定義15

1.2.2收斂數列極限的性質19

1.2.3數列極限的存在準則19

1.2.4數列極限的四則運演演算法則21

習題1-222

1.3函數的極限23

1.3.1x→時函數的極限23

1.3.2x→x0時函數的極限24

1.3.3函數極限的運演演算法則26

1.3.4兩個重要極限28

習題1-331

1.4無窮小量和無窮大量33

1.4.1無窮小量33

1.4.2無窮大量37

習題1-437

1.5函數的連續性38

1.5.1函數的連續性38

1.5.2函數的間斷點39

1.5.3初等函數的連續性及連續函數的性質41

1.5.4閉區間上連續函數的性質43

習題1-544

總習題一45

習題答案46

第2章導數與微分50

2.1　導數的概念50

2.1.1引例50

2.1.2導數的概念51

2.1.3左導數和右導數54

2.1.4可導與連續的關係55

習題2-156

2.2　導數的四則運演演算法則57

習題2-259

2.3　複合函數求導法60

2.3.1複合函數的求導法則60

2.3.2反函數的導數62

2.3.3隱函數的導數63

2.3.4對數求導法64

2.3.5參數方程確定函數的導數65

2.3.6基本求導公式和法則67

習題2-368

2.4　高階導數69

習題2-471

2.5函數的微分72

2.5.1微分的定義72

2.5.2微分的幾何意義74

2.5.3微分的運演演算法則75

*2.5.4微分在近似計算中的應用77

習題2-577

總習題二79

習題答案79

第3章微分中值定理與導數的應用84

3.1微分中值定理84

3.1.1羅爾定理84

3.1.2拉格朗日中值定理85

3.1.3柯西中值定理87

3.1.4泰勒公式87

習題3-188

3.2洛必達法則89

3.2.1“”型和“”型未定式89

3.2.2其他類型的未定式91

習題3-292

3.3函數的單調性和曲線的凹凸性93

3.3.1函數單調性的判定法93

3.3.2曲線的凹凸性與拐點95

習題3-396

3.4函數的極值與最大值、最小值問題97

3.4.1函數的極值及其求法97

3.4.2函數的最大值與最小值問題100

習題3-4101

3.5函數圖形的描繪103

3.5.1曲線的漸近線103

3.5.2函數y=f(x)圖形的描繪104

習題3-5105

*3.6弧微分與曲率105

3.6.1弧微分106

3.6.2曲率及其計算106

3.6.3曲率圓108

習題3-6108

總習題三108

習題答案109

第4章不定積分112

4.1不定積分的概念與性質112

4.1.1原函數與不定積分的概念112

4.1.2基本積分表114

4.1.3不定積分的性質115

習題4-1116

4.2第一類換元積分法117

習題4-2122

4.3第二類換元積分法123

習題4-3126

4.4分部積分法126

習題4-4130

4.5有理函數和可化為有理函數的積分130

4.5.1有理函數的積分130

4.5.2三角函數有理式的積分134

4.5.3幾類簡單無理函數的積分135

習題4-5136

總習題四137

習題答案138

第5章定積分及其應用141

5.1定積分的概念與性質141

5.1.1引入定積分概念的實例141

5.1.2定積分定義142

5.1.3定積分的性質145

習題5-1147

5.2微積分基本公式147

5.2.1變速直線運動中位置函數與速度函數之間的聯繫148

5.2.2積分上限的函數及其導數148

5.2.3牛頓-萊布尼茨公式149

習題5-2151

5.3定積分的換元法和分部積分法152

5.3.1定積分的換元法152

5.3.2定積分的分部積分法155

習題5-3157

5.4廣義積分157

5.4.1無窮限的廣義積分157

5.4.2無界函數的廣義積分159

習題5-4161

5.5定積分在幾何學上的應用162

5.5.1定積分的元素法162

5.3.2平面圖形的面積163

5.5.3求體積167

5.5.4求平面曲線的弧長170

習題5-5172

5.6定積分的物理應用173

5.6.1變力沿直線所作的功173

5.6.2水壓力174

5.6.3引力176

習題5-6176

總習題五177

習題答案179

第6章微分方程183

6.1微分方程的基本概念183

習題6-1186

6.2一階微分方程的解法186

6.2.1可分離變數的微分方程187

6.2.2齊次微分方程189

6.2.3一階線性微分方程190

6.2.4伯努利方程193

習題6-2194

6.3高階微分方程的解法196

6.3.1可降階的高階微分方程196

6.3.2二階線性微分方程解的結構199

6.3.3二階常係數齊次線性微分方程的解法201

6.3.4二階常係數非齊次線性微分方程的解法203

習題6-3207

總習題六208

習題答案209

第7章向量代數與空間解析幾何212

7.1空間直角坐標系與向量的線性運算212

7.1.1空間直角坐標系212

7.1.2向量的概念213

7.1.3向量的線性運算213

7.1.4向量的坐標表示215

7.1.5向量的模與方向餘弦217

習題7-1219

7.2向量的數量積與向量積219

7.2.1兩向量的數量積219

7.2.2兩向量的向量積221

習題7-2225

7.3平面及其方程225

7.3.1平面的點法式方程225

7.3.2平面的一般式方程226

7.3.3兩平面的夾角228

7.3.4平面外一點到平面的距離228

習題7-3229

7.4空間直線及其方程229

7.4.1直線的一般式方程229

7.4.2直線的對稱式方程與參數方程229

7.4.3兩直線的夾角231

7.4.4直線與平面的夾角232

7.4.5綜合舉例232

習題7-4234

7.5曲面及其方程235

7.5.1曲面方程的概念235

7.5.2幾種常見曲面及其方程235

7.5.3二次曲面238

習題7-5240

7.6空間曲線及其方程241

7.6.1空間曲線的方程241

7.6.2空間曲線在坐標面上的投影242

7.6.3空間立體圖形的投影244

習題7-6245

總習題七245

習題答案246

第8章多元函數微分法及其應用250

8.1多元函數的基本概念與極限250

8.1.1平面點集、區域250

8.1.2多元函數的概念252

8.1.3二元函數的極限與連續性254

習題8-1257

8.2偏導數258

8.2.1偏導數的定義及其計算方法258

8.2.2高階偏導數261

習題8-2262

8.3全微分及其應用263

8.3.1全微分的定義263

*8.3.2全微分在近似計算中的應用266

習題8-3267

8.4複合函數與隱函數求導法267

8.4.1多元複合函數的求導法則267

*8.4.2全微分形式不變性271

8.4.3隱函數的求導公式272

習題8-4275

*8.5方嚮導數與梯度276

8.5.1方嚮導數276

8.5.2梯度277

習題8-5279

8.6微分法在幾何上的應用280

8.6.1空間曲線的切線與法平面280

8.6.2曲面的切平面與法線281

習題8-6283

8.7多元函數的極值及其求法284

8.7.1多元函數的極值284

8.7.2多元函數的最大值與最小值286

*8.7.3條件極值拉格朗日乘數法287

習題8-7289

總習題八289

習題答案291

第9章多元函數積分學296

9.1二重積分的概念與性質296

9.1.1兩個實例296

9.1.2二重積分的概念298

9.1.3二重積分的性質299

習題9-1301

9.2二重積分的計算302

9.2.1在直角坐標系下二重積分的計算方法302

9.2.2在極坐標系下二重積分的計算方法309

習題9-2313

9.3二重積分的應用315

9.3.1曲面的面積315

9.3.2平面薄片的重心317

9.3.3平面薄片的轉動慣量319

習題9-3321

*9.4三重積分321

9.4.1三重積分的概念321

9.4.2三重積分的計算方法322

9.4.3三重積分的應用327

*習題9-4328

9.5對弧長的曲線積分329

9.5.1對弧長的曲線積分的概念與性質330

9.5.2對弧長的曲線積分的演演算法331

9.5.3對弧長的曲線積分的推廣334

9.5.4對弧長的曲線積分的應用舉例334

習題9-5336

9.6對坐標的曲線積分337

9.6.1對坐標的曲線積分的概念與性質337

9.6.2對坐標的曲線積分的演演算法339

9.6.3兩類曲線積分之間的關係342

習題9-6343

9.7格林公式及其應用344

9.7.1格林公式344

9.7.2平面上曲線積分與路徑無關的條件349

9.7.3二元函數全微分的求積問題351

習題9-7355

總習題九356

習題答案358

第10章無窮級數362

10.1常數項級數的概念和性質362

10.1.1常數項級數的概念362

10.1.2常數項級數的基本性質363

習題10-1366

10.2常數項級數的審斂法366

10.2.1正項級數及其審斂法366

10.2.2交錯級數及其審斂法371

10.2.3絕對收斂與條件收斂372

習題10-2374

10.3冪級數375

10.3.1函數項級數的概念375

10.3.2冪級數及其收斂性376

10.3.3冪級數的運算379

習題10-3381

10.4函數展開成冪級數381

10.4.1泰勒級數382

10.4.2函數展開成冪級數383

10.4.3函數的冪級數展開式應用388

習題10-4391

*10.5傅里葉級數391

10.5.1以2π為周期的函數展開成傅里葉級數391

10.5.2周期為2l的周期函數的傅里葉級數398

*習題10-5401

總習題十401

習題答案403

附錄Ⅰ幾種常用的曲線406

附錄Ⅱ簡明積分表408